Dentre os paralelepípedos retangulares de mesmo volume, determinar o que tem menor área superficial.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir qual paralelepípedo retangular, todos com o mesmo volume, tem a menor área superficial. Vamos precisar entender um pouco sobre geometria dos paralelepípedos e como calcular volume e área superficial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um paralelepípedo retangular. É um sólido de seis faces retangulares, onde todas as arestas que se encontram em cada vértice são perpendiculares entre si.

Passo 3

Para resolver isso, vamos usar as fórmulas de volume e área superficial. O volume de um paralelepípedo é dado por:
onde , e são as arestas do paralelepípedo.

Passo 4

A área superficial é a soma das áreas de todas as faces. Como são seis faces, temos:

Passo 5

Queremos minimizar mantendo constante. Vamos pensar: como podemos fazer isso? Um jeito eficiente é usar o conceito de simetria. Quando , o paralelepípedo se torna um cubo. Vamos ver se isso minimiza a área superficial.

Passo 6

Assumindo que , o volume fica:
E a área superficial:

Passo 7

Comparando com outros paralelepípedos onde , e são diferentes, percebemos que qualquer desequilíbrio nessas arestas aumenta a soma , e, consequentemente, a área superficial .

Passo 8

Portanto, o cubo, onde todas as arestas são iguais, é a forma que minimiza a área superficial para um dado volume.

Resposta

O paralelepípedo retangular com menor área superficial, mantendo o volume constante, é o cubo, onde as três arestas são iguais.

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Calcular em cada ítem seguinte:
(a)