Dentre os paralelepípedos retangulares de mesmo volume, determinar o que tem menor área superficial.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir qual paralelepípedo retangular, todos com o mesmo volume, tem a menor área superficial. Vamos precisar entender um pouco sobre geometria dos paralelepípedos e como calcular volume e área superficial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um paralelepípedo retangular. É um sólido de seis faces retangulares, onde todas as arestas que se encontram em cada vértice são perpendiculares entre si.
Passo 3
Para resolver isso, vamos usar as fórmulas de volume e área superficial. O volume
de um paralelepípedo é dado por:
onde
,
e
são as arestas do paralelepípedo.
Passo 4
A área superficial
é a soma das áreas de todas as faces. Como são seis faces, temos:
Passo 5
Queremos minimizar
mantendo
constante. Vamos pensar: como podemos fazer isso? Um jeito eficiente é usar o conceito de simetria. Quando
, o paralelepípedo se torna um cubo. Vamos ver se isso minimiza a área superficial.
Passo 6
Assumindo que
, o volume fica:
E a área superficial:
Passo 7
Comparando com outros paralelepípedos onde
,
e
são diferentes, percebemos que qualquer desequilíbrio nessas arestas aumenta a soma
, e, consequentemente, a área superficial
.
Passo 8
Portanto, o cubo, onde todas as arestas são iguais, é a forma que minimiza a área superficial para um dado volume.
Resposta
O paralelepípedo retangular com menor área superficial, mantendo o volume constante, é o cubo, onde as três arestas são iguais.
Exercícios relacionados
Dê exemplo de uma função
contínua em todos os pontos, exceto nos pontos
.
Use a aproximação linear para estimar o valor de
a partir da função
no ponto
. Compare o valor estimado com o valor real.
Denotemos por
e
, os funcionais escalares canônicos definidos como segue:
e
de modo que para todo
,
Para cada ponto
, defina o funcional linear
dado por
ou seja,
é uma combinação linear da base dual canônica do
que, por definição,
Para uma curva
, define-se
Calcular
em cada ítem seguinte:
(a)
(a)