Determine os extremos locais e pontos de sela, se houverem, da funçāo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os extremos locais (ou seja, os pontos mais altos ou mais baixos) e os pontos de sela da função . Para isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos encontrados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda em cada direção.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde as derivadas parciais são iguais a zero.
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Para classificar esses pontos, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Em seguida, calculamos o determinante da matriz Hessiana ( ):

Passo 5

Vamos aplicar o teste para cada ponto crítico:
Para o ponto :
Como e , o ponto é um mínimo local.
Para o ponto :
Como , o ponto é um ponto de sela.

Resposta

A função possui:
  • Um mínimo local no ponto .
  • Um ponto de sela no ponto .

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a) Encontre a taxa de variação da densidade no ponto (3,2) na direção do vetor unitário .
Em que direção seguir, começando do ponto ( ), para obter a taxa mais rápida de crescimento da função ?
(m) ( ) Se converge, então converge;
Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto .