Determine os extremos locais e pontos de sela, se houverem, da funçāo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os extremos locais (ou seja, os pontos mais altos ou mais baixos) e os pontos de sela da função
. Para isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos encontrados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda em cada direção.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde as derivadas parciais são iguais a zero.
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Para classificar esses pontos, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Em seguida, calculamos o determinante da matriz Hessiana (
):
Passo 5
Vamos aplicar o teste para cada ponto crítico:
Para o ponto
:
Como
e
, o ponto
é um mínimo local.
Para o ponto
:
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
Resposta
A função
possui:
- Um mínimo local no ponto
. - Um ponto de sela no ponto
.
Exercícios relacionados
A densidade de uma chapa retangular em qualquer ponto do plano
é
.
a) Encontre a taxa de variação da densidade no ponto (3,2) na direção do vetor unitário .
a) Encontre a taxa de variação da densidade no ponto (3,2) na direção do vetor unitário
Em que direção seguir, começando do ponto (
), para obter a taxa mais rápida de crescimento da função
?
(m) ( ) Se
converge, então
converge;
Determine a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.