Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais impróprias porque o limite superior é o infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e entender como lidar com limites no cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição que facilite a resolução. Observamos que dentro da raiz temos , então uma boa estratégia é deixar essa expressão ser substituída.
Vamos fazer a substituição:
Agora, derivamos ambos os lados em relação a :
Passo 3
Substituímos na integral original:
Mas, lembrando que , então podemos expressar em termos de :
Substituindo isso na integral:
Passo 4
Agora, podemos simplificar a fração:
Essa expressão ainda parece complicada, então vamos tentar outra substituição ou simplificação. Observando que , podemos reconsiderar a substituição para facilitar a integral. Na verdade, uma abordagem mais simples é usar a substituição .
Vamos tentar essa substituição:
Passo 5
Substituindo na integral original:
Mas, da relação , temos:
Então:
Passo 6
Agora, a integral é uma integral padrão que podemos resolver usando frações parciais:
Então:
Passo 7
Voltando à variável original 12 ln|raizx^2 + 1 - 1raizx^2 + 1 + 1| + C , lembramos que . Assim, substituindo de volta:
Passo 8
Agora, precisamos calcular o valor da integral definida de 1 até o infinito. Primeiramente, determinamos a antiderivada na expressão acima e depois aplicamos os limites.
Como a integral é imprópria por ter um limite no infinito, calculamos o limite conforme limb to infty [ 12 ln(raizb^2 + 1 - 1raizb^2 + 1 + 1) - 12 ln(raiz1^2 + 1 - 1raiz1^2 + 1 + 1) ] :
Passo 9
Analisando o limite quando raizb^2 + 1 approx b para grandes b :
raizb^2 + 1 - 1raizb^2 + 1 + 1 approx b - 1b + 1 to 1 quando b to infty
Então:
ln(1) = 0
E:
Portanto, o termo no limite se anula.
Passo 10
Agora, calculamos a expressão na base 12 ln(raiz2 - 1raiz2 + 1) :