Salcule a integral .
(2 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais impróprias porque o limite superior é o infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e entender como lidar com limites no cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição que facilite a resolução. Observamos que dentro da raiz temos , então uma boa estratégia é deixar essa expressão ser substituída.
Vamos fazer a substituição:
Agora, derivamos ambos os lados em relação a :

Passo 3

Substituímos na integral original:
Mas, lembrando que , então podemos expressar em termos de :
Substituindo isso na integral:

Passo 4

Agora, podemos simplificar a fração:
Essa expressão ainda parece complicada, então vamos tentar outra substituição ou simplificação. Observando que , podemos reconsiderar a substituição para facilitar a integral. Na verdade, uma abordagem mais simples é usar a substituição .
Vamos tentar essa substituição:

Passo 5

Substituindo na integral original:
Mas, da relação , temos:
Então:

Passo 6

Agora, a integral é uma integral padrão que podemos resolver usando frações parciais:
Então:

Passo 7

Voltando à variável original , lembramos que . Assim, substituindo de volta:

Passo 8

Agora, precisamos calcular o valor da integral definida de 1 até o infinito. Primeiramente, determinamos a antiderivada na expressão acima e depois aplicamos os limites.
Como a integral é imprópria por ter um limite no infinito, calculamos o limite conforme :

Passo 9

Analisando o limite quando :
Então:
E:
Portanto, o termo no limite se anula.

Passo 10

Agora, calculamos a expressão na base :
Simplificando:

Resposta

A integral converge para .

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(1 ponto)
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