Salcule a integral integral1^infty 1x raizx^2+1 d x.
(2 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais impróprias porque o limite superior é o infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e entender como lidar com limites no cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição que facilite a resolução. Observamos que dentro da raiz temos t = x^2 + 1 , então uma boa estratégia é deixar essa expressão ser substituída.
Vamos fazer a substituição:
dt = 2x , dx
Agora, derivamos ambos os lados em relação a Rightarrow dx = dt2x :

Passo 3

Substituímos integral 1x raizx^2+1 , dx = integral 1x raizt cdot dt2x = integral 12x^2 raizt , dt na integral original:
x^2 = t - 1
Mas, lembrando que integral 12(t - 1) raizt , dt , então podemos expressar em termos de :
Substituindo isso na integral:

Passo 4

Agora, podemos simplificar a fração:
12(t - 1) raizt = 12 cdot 1(t - 1) raizt
Essa expressão ainda parece complicada, então vamos tentar outra substituição ou simplificação. Observando que u = raizx^2 + 1 , podemos reconsiderar a substituição para facilitar a integral. Na verdade, uma abordagem mais simples é usar a substituição Rightarrow u^2 = x^2 + 1 .
Vamos tentar essa substituição:
Rightarrow 2u , du = 2x , dx
Rightarrow du = x , dxu
Rightarrow dx = u , dux

Passo 5

Substituindo na integral original:
integral 1x cdot u cdot u , dux = integral 1x^2 , du
Mas, da relação x^2 = u^2 - 1 , temos:
integral 1u^2 - 1 , du
Então:

Passo 6

Agora, a integral 1u^2 - 1 = 12 ( 1u - 1 - 1u + 1 ) é uma integral padrão que podemos resolver usando frações parciais:
integral 1u^2 - 1 , du = 12 ln|u - 1u + 1| + C
Então:

Passo 7

Voltando à variável original 12 ln|raizx^2 + 1 - 1raizx^2 + 1 + 1| + C , lembramos que . Assim, substituindo de volta:

Passo 8

Agora, precisamos calcular o valor da integral definida de 1 até o infinito. Primeiramente, determinamos a antiderivada na expressão acima e depois aplicamos os limites.
Como a integral é imprópria por ter um limite no infinito, calculamos o limite conforme limb to infty [ 12 ln(raizb^2 + 1 - 1raizb^2 + 1 + 1) - 12 ln(raiz1^2 + 1 - 1raiz1^2 + 1 + 1) ] :

Passo 9

Analisando o limite quando raizb^2 + 1 approx b para grandes b :
raizb^2 + 1 - 1raizb^2 + 1 + 1 approx b - 1b + 1 to 1 quando b to infty
Então:
ln(1) = 0
E:
Portanto, o termo no limite se anula.

Passo 10

Agora, calculamos a expressão na base 12 ln(raiz2 - 1raiz2 + 1) :
12 ln(raiz2 - 1raiz2 + 1) = 12 ln((raiz2 - 1)^21) = 12 ln(3 - 2raiz2)
Simplificando:

Resposta

A integral converge para .

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