Usando integração por partes, calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida de
de 0 até
. Vamos usar a técnica de integração por partes, que é uma forma de integrar produtos de funções. Para isso, vamos identificar quais partes da nossa integral serão
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher
e
. Na integração por partes, a gente escolhe
como a função que vai se simplificar quando derivada, e
como a parte que vamos integrar.
Aqui, vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
. Para isso, derivamos
e integramos
.
Derivando
:
Integrando
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Vamos integrar
:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Aqui,
é a constante de integração, mas como estamos calculando uma integral definida, vamos continuar com os limites.
Passo 6
Agora, vamos avaliar a expressão de
a
:
Calculando no limite superior (
):
Calculando no limite inferior (0):
Subtraindo os dois resultados:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
A densidade linear de uma barra de 2 metros de comprimento é
, medida em quilogramas por metro, em que
é medido em metros a partir de uma extremidade da barra.
a) Encontre a massa total da barra.
(1 ponto)
a) Encontre a massa total da barra.
(1 ponto)
Salcule a integral
.
(2 pontos)
(2 pontos)
Usando integração por partes, calcule: