Usando integração por partes, calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida de de 0 até . Vamos usar a técnica de integração por partes, que é uma forma de integrar produtos de funções. Para isso, vamos identificar quais partes da nossa integral serão e .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher e . Na integração por partes, a gente escolhe como a função que vai se simplificar quando derivada, e como a parte que vamos integrar.
Aqui, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar e . Para isso, derivamos e integramos .
Derivando :
Integrando :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos integrar :
Substituindo de volta na expressão anterior:
Aqui, é a constante de integração, mas como estamos calculando uma integral definida, vamos continuar com os limites.

Passo 6

Agora, vamos avaliar a expressão de a :
Calculando no limite superior ( ):
Calculando no limite inferior (0):
Subtraindo os dois resultados:

Resposta

O valor da integral é .

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A densidade linear de uma barra de 2 metros de comprimento é , medida em quilogramas por metro, em que é medido em metros a partir de uma extremidade da barra.
a) Encontre a massa total da barra.
(1 ponto)
Salcule a integral .
(2 pontos)
Usando integração por partes, calcule: