Usando integração por partes, calcule:
integral0^pi2 x cdot cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida de de 0 até . Vamos usar a técnica de integração por partes, que é uma forma de integrar produtos de funções. Para isso, vamos identificar quais partes da nossa integral serão e .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher u = x e dv = cos x , dx e . Na integração por partes, a gente escolhe como a função que vai se simplificar quando derivada, e como a parte que vamos integrar.
Aqui, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = dx e v = integral cos x , dx = sin x . Para isso, derivamos e integramos .
Derivando :
Integrando :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x cos x , dx = x sin x - integral sin x , dx

Passo 5

Vamos integrar integral sin x , dx = -cos x :
integral x cos x , dx = x sin x + cos x + C
Substituindo de volta na expressão anterior:
Aqui, é a constante de integração, mas como estamos calculando uma integral definida, vamos continuar com os limites.

Passo 6

Agora, vamos avaliar a expressão de [ x sin x + cos x ]0^pi2 a pi2 cdot sin(pi2) + cos(pi2) = pi2 cdot 1 + 0 = pi2 :
0 cdot sin(0) + cos(0) = 0 + 1 = 1
Calculando no limite superior ( pi2 - 1 ):
Calculando no limite inferior (0):
Subtraindo os dois resultados:

Resposta

O valor da integral é .

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