A densidade linear de uma barra de 2 metros de comprimento é , medida em quilogramas por metro, em que é medido em metros a partir de uma extremidade da barra.
b) A barra deve ser divida em duas partes de modo que cada parte tenha a mesma massa. Encontre o comprimento de cada parte da barra.
(1 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma barra de 2 metros de comprimento com uma densidade linear que varia ao longo dela, dada por kg/m, onde é a posição na barra medida a partir de uma das extremidades. A pergunta é: em que ponto devemos cortar a barra para que as duas partes tenham a mesma massa? Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de massas através de integrais, já que a densidade não é constante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa total da barra inteira. A massa ( ) de um objeto com densidade variável pode ser encontrada integrando a função de densidade ao longo do comprimento total. Então, temos:

Passo 3

Vamos resolver essa integral para encontrar a massa total:

Passo 4

Queremos dividir a barra em duas partes com mesma massa, ou seja, cada parte deve ter uma massa de kg. Vamos chamar o ponto de corte de . A massa da primeira parte, de a , deve ser igual a kg:

Passo 5

Vamos calcular essa integral:

Passo 6

Agora, temos a equação:
Para resolver, vamos multiplicar todos os termos por para eliminar a fração:
Rearranjando:

Passo 7

Agora, resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde, , , e .
Substituindo:
Como o comprimento não pode ser negativo, descartamos a solução negativa:

Resposta

O ponto de corte está aproximadamente a 1,16 metros da extremidade da barra.

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