A densidade linear de uma barra de 2 metros de comprimento é
, medida em quilogramas por metro, em que
é medido em metros a partir de uma extremidade da barra.
b) A barra deve ser divida em duas partes de modo que cada parte tenha a mesma massa. Encontre o comprimento de cada parte da barra.
(1 ponto)
b) A barra deve ser divida em duas partes de modo que cada parte tenha a mesma massa. Encontre o comprimento de cada parte da barra.
(1 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma barra de 2 metros de comprimento com uma densidade linear que varia ao longo dela, dada por
kg/m, onde
é a posição na barra medida a partir de uma das extremidades. A pergunta é: em que ponto devemos cortar a barra para que as duas partes tenham a mesma massa? Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de massas através de integrais, já que a densidade não é constante.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa total da barra inteira. A massa (
) de um objeto com densidade variável pode ser encontrada integrando a função de densidade ao longo do comprimento total. Então, temos:
Passo 3
Vamos resolver essa integral para encontrar a massa total:
Passo 4
Queremos dividir a barra em duas partes com mesma massa, ou seja, cada parte deve ter uma massa de
kg. Vamos chamar o ponto de corte de
. A massa da primeira parte, de
a
, deve ser igual a
kg:
Passo 5
Vamos calcular essa integral:
Passo 6
Agora, temos a equação:
Para resolver, vamos multiplicar todos os termos por
para eliminar a fração:
Rearranjando:
Passo 7
Agora, resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde,
,
, e
.
Substituindo:
Como o comprimento não pode ser negativo, descartamos a solução negativa:
Resposta
O ponto de corte está aproximadamente a 1,16 metros da extremidade da barra.
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