Usando substituição, calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
Aqui, estamos lidando com uma integração por substituição. Para isso, vamos identificar uma parte da expressão que, quando substituída, simplifica a integral.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição adequada. Observando a expressão , vamos definir:
Isso vai facilitar a integral porque a derivada de em relação a está presente na expressão original.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a :
Observamos que na nossa integral original temos . Podemos reescrever em termos de :

Passo 4

Substituindo e na integral original, temos:
Precisamos agora alterar os limites de integração de para :
  • Quando ,
  • Quando ,
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral:
Agora, avaliamos de a :

Resposta

O valor da integral é 15.

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A densidade linear de uma barra de 2 metros de comprimento é , medida em quilogramas por metro, em que é medido em metros a partir de uma extremidade da barra.
b) A barra deve ser divida em duas partes de modo que cada parte tenha a mesma massa. Encontre o comprimento de cada parte da barra.
(1 ponto)
Usando substituição, calcule:
.