Usando substituição, calcule:
integral0^1 8 x(x^2+1)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
integral0^1 8x(x^2+1)^3 dx
Aqui, estamos lidando com uma integração por substituição. Para isso, vamos identificar uma parte da expressão que, quando substituída, simplifica a integral.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição adequada. Observando a expressão u = x^2 + 1 , vamos definir:
Isso vai facilitar a integral porque a derivada de em relação a está presente na expressão original.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx em relação a 8x , dx = 4 , du :
Observamos que na nossa integral original temos . Podemos reescrever em termos de :

Passo 4

Substituindo integral0^1 8x(x^2+1)^3 dx = integralu(0)^u(1) 4u^3 du e integral1^2 4u^3 du na integral original, temos:
Precisamos agora alterar os limites de integração de para :
  • Quando ,
  • Quando ,
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral:
integral 4u^3 du = 4 cdot u^44 = u^4
Agora, avaliamos de u^4 |1^2 = 2^4 - 1^4 = 16 - 1 = 15 a :

Resposta

O valor da integral é 15.

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