lim x 3^3 x^3-7 x-6x^3-2 x^2-5 x+6.

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício envolve o conceito de limites de funções racionais, onde precisamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de um valor específico. Para resolver, vamos precisar fatorar tanto o numerador quanto o denominador para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos 3^3 - 7 cdot 3 - 63^3 - 2 cdot 3^2 - 5 cdot 3 + 6 = 27 - 21 - 627 - 18 - 15 + 6 = 00 diretamente na função:
Obtivemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador. Começamos pelo numerador 3^3 - 7 cdot 3 - 6 = 27 - 21 - 6 = 0 .
Para fatorar, procuramos raízes da equação x^3 - 7x - 6 = (x - 3)(x^2 + 3x + 2) . Testando x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) :
x^3 - 7x - 6 = (x - 3)(x + 1)(x + 2)
Portanto, é um fator do numerador. Fazendo a divisão por , obtemos:
E fatorando mais:
Então, o numerador fatorado é:

Passo 4

Agora, fatoramos o denominador 3^3 - 2 cdot 3^2 - 5 cdot 3 + 6 = 27 - 18 - 15 + 6 = 0 . Testando x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 3)(x^2 + x - 2) :
x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)
Portanto, x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 3)(x + 2)(x - 1) também é um fator do denominador. Fazendo a divisão por , obtemos:
E fatorando mais:
Então, o denominador fatorado é:

Passo 5

Agora que fatoramos tanto o numerador quanto o denominador, podemos simplificar a expressão original:
(x - 3)(x + 1)(x + 2)(x - 3)(x + 2)(x - 1) = (x + 1)(x - 1)
Note que cancelamos os fatores comuns e .

Passo 6

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo limx 3^+ x + 1x - 1 = 3 + 13 - 1 = 42 = 2 :

Resposta

O limite é igual a .

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