Usando substituição, calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que calcular:
Para isso, vamos usar o método de substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas trocando parte da expressão por uma nova variável. Vamos precisar identificar uma parte da função que, ao ser substituída, torne a integral mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique o denominador. Olhando para
, parece uma boa candidata para ser nossa nova variável
. Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, para substituir o
na integral. Calculando a derivada:
Isso significa que:
Passo 4
Queremos expressar
em termos de
. Podemos rearranjar a equação anterior para:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
na nossa integral original:
Passo 6
Agora, temos uma integral mais simples:
A integral de
em relação a
é:
Então, substituindo de volta:
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, então:
Passo 8
Como estamos calculando uma integral definida de 1 a 2, vamos aplicar os limites de integração. Primeiro, encontramos os valores de
nos limites:
- Quando
:
- Quando
:
Passo 9
Agora, avaliamos a antiderivada nos limites superiores e inferiores e fazemos a diferença:
Passo 10
Vamos simplificar a expressão:
Resposta
O valor da integral é
.