Usando substituição, calcule:
integral1^2 x^2(x^3+1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que calcular:
integral1^2 x^2(x^3+1)^2 , dx
Para isso, vamos usar o método de substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas trocando parte da expressão por uma nova variável. Vamos precisar identificar uma parte da função que, ao ser substituída, torne a integral mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique o denominador. Olhando para u = x^3 + 1 , parece uma boa candidata para ser nossa nova variável . Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 3x^2 em relação a du = 3x^2 , dx , ou seja, , para substituir o na integral. Calculando a derivada:
Isso significa que:

Passo 4

Queremos expressar x^2 , dx = du3 em termos de . Podemos rearranjar a equação anterior para:

Passo 5

Agora, vamos substituir integral1^2 x^2(x^3+1)^2 , dx = integral du3u^2 = 13 integral u^-2 , du e na nossa integral original:

Passo 6

Agora, temos uma integral mais simples:
13 integral u^-2 , du
A integral de integral u^-2 , du = -u^-1 + C em relação a 13 (-u^-1) + C = -13u + C é:
Então, substituindo de volta:

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original -13u + C = -13(x^3 + 1) + C . Lembrando que , então:

Passo 8

Como estamos calculando uma integral definida de 1 a 2, vamos aplicar os limites de integração. Primeiro, encontramos os valores de u = 1^3 + 1 = 2 nos limites:
  • Quando u = 2^3 + 1 = 9 :
  • Quando :

Passo 9

Agora, avaliamos a antiderivada nos limites superiores e inferiores e fazemos a diferença:
[ -13u ]2^9 = -13 times 9 - ( -13 times 2 ) = -127 + 16

Passo 10

Vamos simplificar a expressão:
-127 + 16 = -254 + 954 = 754

Resposta

O valor da integral é .

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