Usando integração por partes, calcule:
integral1^2 x cdot ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida usando a técnica de integração por partes. Integração por partes é uma estratégia que nos ajuda a integrar produtos de funções, e para isso vamos precisar identificar duas partes na nossa integral: e .

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher o que será u = ln x e o que será dv = x , dx . A regra básica é escolher como a parte que fica mais simples quando derivada. Aqui, vou escolher:
Isso porque derivar simplifica a expressão, e integrar é direto.

Passo 3

Agora, vamos encontrar du = 1x , dx e v = integral x , dx = x^22 derivando e integrando respectivamente:
u = ln x
du = 1x , dx
Então, temos:
dv = x , dx
v = x^22

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x ln x , dx = ln x cdot x^22 - integral x^22 cdot 1x , dx
Simplificando a integral restante:
integral x ln x , dx = x^2 ln x2 - 12 integral x , dx

Passo 5

Agora, vamos integrar integral x , dx = x^22 + C :
integral x ln x , dx = x^2 ln x2 - 12 cdot x^22
Substituindo de volta:
integral x ln x , dx = x^2 ln x2 - x^24 + C

Passo 6

Como a integral é definida de 1 a 2, vamos calcular:
[ x^2 ln x2 - x^24 ]1^2
Primeiro, para 2^2 ln 22 - 2^24 = 4 ln 22 - 44 = 2 ln 2 - 1 :
1^2 ln 12 - 1^24 = 02 - 14 = -14
Depois, para (2 ln 2 - 1) - (-14) = 2 ln 2 - 1 + 14 = 2 ln 2 - 34 :
Subtraindo:

Resposta

A integral é igual a .

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