Usando integração por partes, calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida usando a técnica de integração por partes. Integração por partes é uma estratégia que nos ajuda a integrar produtos de funções, e para isso vamos precisar identificar duas partes na nossa integral: e .

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher o que será e o que será . A regra básica é escolher como a parte que fica mais simples quando derivada. Aqui, vou escolher:
Isso porque derivar simplifica a expressão, e integrar é direto.

Passo 3

Agora, vamos encontrar e derivando e integrando respectivamente:
Então, temos:

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando a integral restante:

Passo 5

Agora, vamos integrar :
Substituindo de volta:

Passo 6

Como a integral é definida de 1 a 2, vamos calcular:
Primeiro, para :
Depois, para :
Subtraindo:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Salcule a integral .
(2 pontos)
Usando integração por partes, calcule:
Usando substituição, calcule:
A densidade linear de uma barra de 2 metros de comprimento é , medida em quilogramas por metro, em que é medido em metros a partir de uma extremidade da barra.
b) A barra deve ser divida em duas partes de modo que cada parte tenha a mesma massa. Encontre o comprimento de cada parte da barra.
(1 ponto)