A densidade linear de massa de um fio metálico não uniforme, sob tensão constante, diminui gradualmente ao longo do fio de modo que há transmissão de uma onda incidente sem reflexão. O fio é uniforme na região -
. Nesta região, uma onda transversal tem a forma
, onde
e
estão em metros e
em segundos. Entre
, a densidade linear de massa diminui gradualmente de
a
. Para
, a densidade linear de massa é constante
. (a) Qual a velocidade da onda para valores grandes de
? (b) Qual a amplitude da onda para valores gráandes de
? © Dar
para
.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede e identificar os conceitos que vamos precisar para resolvê-lo.
Enunciado Resumido:
Temos um fio metálico não uniforme sob tensão constante, onde a densidade linear de massa diminui gradualmente ao longo do fio, permitindo a transmissão de uma onda sem reflexão. O fio é uniforme na região de , onde uma onda transversal é dada por
. Entre
e
, a densidade linear de massa diminui de
para
. Para
, a densidade é constante em
.
Temos um fio metálico não uniforme sob tensão constante, onde a densidade linear de massa diminui gradualmente ao longo do fio, permitindo a transmissão de uma onda sem reflexão. O fio é uniforme na região de
Conteúdo da Matéria:
- Ondas em meios não uniformes
- Velocidade de propagação da onda
- Relação entre densidade linear de massa e velocidade da onda
- Amplitude da onda em diferentes regiões
O que vamos precisar:
- Fórmula da velocidade da onda em termos da tensão e densidade linear de massa:
. - Relação entre frequência, número de onda e velocidade da onda:
. - Compreender como a amplitude da onda se comporta em meios com diferentes densidades para evitar reflexões.
Passo 2
Vamos resolver a parte (a): Qual a velocidade da onda para valores grandes de
?
Entendendo a Teoria:
A velocidade da onda em um fio é dada por
, onde:
A velocidade da onda
-
é a tensão no fio (constante em todo o fio). -
é a densidade linear de massa.
Na região
, a densidade linear de massa é constante e igual a
.
Aplicando a Fórmula:
Para encontrar a velocidade da onda nessa região:
Para encontrar a velocidade da onda nessa região:
Agora, precisamos encontrar
. Vamos usar a informação da onda na região
:
A onda é .
A onda é
Sabemos que
, onde:
Então:
Portanto:
Substituindo de volta na expressão para
na região
:
Resposta para a parte (a):
A velocidade da onda para valores grandes de é 2 m/s.
A velocidade da onda para valores grandes de
Passo 3
Vamos resolver a parte (b): Qual a amplitude da onda para valores grandes de
?
Entendendo a Teoria:
Para que não haja reflexão da onda na transição de densidade, a impedância do meio deve ser constante. A impedância de um meio para ondas longitudinais é dada por . Como a densidade muda, precisamos ajustar a amplitude para manter a impedância constante.
Para que não haja reflexão da onda na transição de densidade, a impedância do meio deve ser constante. A impedância de um meio para ondas longitudinais é dada por
Aplicando a Fórmula:
A impedância na região é:
A impedância na região
Na região
, a impedância deve ser igual para evitar reflexão:
Para manter a impedância constante, a amplitude
deve ajustar-se de forma inversamente proporcional à velocidade:
Sabemos que:
Portanto:
Considerando a região de mudança gradual:
Como a densidade diminui gradualmente, a amplitude pode aumentar para conservar a energia da onda. A relação correta leva em conta constante:
Como a densidade diminui gradualmente, a amplitude pode aumentar para conservar a energia da onda. A relação correta leva em conta
Resposta para a parte (b):
A amplitude da onda para valores grandes de é 0,006 metros.
A amplitude da onda para valores grandes de
Passo 4
Vamos resolver a parte ©: Dar
para
.
Entendendo a Teoria:
Já determinamos a velocidade e a amplitude da onda na região . Agora, precisamos expressar a função de onda nessa região, considerando a nova densidade e velocidade.
Já determinamos a velocidade e a amplitude da onda na região
Aplicando a Fórmula:
Sabemos que a forma geral da onda é:
Sabemos que a forma geral da onda é:
Já temos:
- Amplitude
- Frequência angular
- Velocidade
Calculando o número de onda
:
Portanto, a função de onda na região
é:
Resposta para a parte ©:
A função de onda para é
.
A função de onda para
Resposta
(a) A velocidade da onda para valores grandes de
é 2 m/s.
(b) A amplitude da onda para valores grandes de
é 0,006 metros.
© A função de onda para
é
.
Exercícios relacionados
Uma onda estacionária numa corda está representada pela seguinte função de onda:
onde
e
estão em metros e
em segundos. (a) Escrever as funções de onda de duas ondas não-estacionárias que, quando superpostas, provocam esta onda estacionária. (b) Qual a distância entre os nós da onda estacionária? © Qual a velocidade de um segmento da corda em
1 m ? (d) Qual a aceleração de um segmento da corda em
?
(a) Mostrar que se a tensão numa corda, fixa nas duas extremidades, for alterada de uma pequena grandeza
, a freqüência do modo fundamental será alterada por aproximadamente
, onde
(ver o Problema 54). Este resultado aplica-se a qualquer harmônico? (
) Usar este resultado para achar a variação percentual da tensão necessária para elevar, de 260 Hz para 262 Hz , a freqüência da fundamental de uma corda de piano.
Dois arames metálicos, soldados topo a topo, têm as densidades lineares de massa relacionadas por
, e estão sujeitos a uma mesma tensão. Quando os arames vibram com a frequência de 120 Hz , no primeiro deles, com a densidade linear
, aparecem ondas de comprimento de onda de 10 cm . (a) Qual a velocidade da onda no primeiro arame? (b) Qual a velocidade da onda no segundo arame? © Qual o comprimento de onda no segundo arame?
Dois fios metálicos, de densidades lineares de massa, estão soldados em
e estão sob tensão constante. Uma onda
está incidente na junção dos dois, vinda da esquerda em
, onde
Esta onda está parcialmente refletida e parcialmente transmitida em
0. A onda transmitida
desloca-se para a direita em
. A onda refletida
desloca-se para a esquerda em
. As condições de contorno em
0 sãq as da continuidade do deslocamento resultante e do coeficiente angular resultante
. (a) Achar a amplitude das ondas refletidas e transinitidas. (b) Verificar que a energia mecânica é conservada. © Se o fio em
for mais denso que o fio em
, achar a mudança de fase entre a onda incidente e a onda refletida.