A densidade linear de massa de um fio metálico não uniforme, sob tensão constante, diminui gradualmente ao longo do fio de modo que há transmissão de uma onda incidente sem reflexão. O fio é uniforme na região -
. Nesta região, uma onda transversal tem a forma
, onde
e
estão em metros e
em segundos. Entre
, a densidade linear de massa diminui gradualmente de
a
. Para
, a densidade linear de massa é constante
. (a) Qual a velocidade da onda para valores grandes de
? (b) Qual a amplitude da onda para valores gráandes de
? © Dar
para
.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede e identificar os conceitos que vamos precisar para resolvê-lo.
Enunciado Resumido:
Temos um fio metálico não uniforme sob tensão constante, onde a densidade linear de massa diminui gradualmente ao longo do fio, permitindo a transmissão de uma onda sem reflexão. O fio é uniforme na região de , onde uma onda transversal é dada por
. Entre
e
, a densidade linear de massa diminui de
para
. Para
, a densidade é constante em
.
Temos um fio metálico não uniforme sob tensão constante, onde a densidade linear de massa diminui gradualmente ao longo do fio, permitindo a transmissão de uma onda sem reflexão. O fio é uniforme na região de
Conteúdo da Matéria:
- Ondas em meios não uniformes
- Velocidade de propagação da onda
- Relação entre densidade linear de massa e velocidade da onda
- Amplitude da onda em diferentes regiões
O que vamos precisar:
- Fórmula da velocidade da onda em termos da tensão e densidade linear de massa:
. - Relação entre frequência, número de onda e velocidade da onda:
. - Compreender como a amplitude da onda se comporta em meios com diferentes densidades para evitar reflexões.
Passo 2
Vamos resolver a parte (a): Qual a velocidade da onda para valores grandes de
?
Entendendo a Teoria:
A velocidade da onda em um fio é dada por
, onde:
A velocidade da onda
-
é a tensão no fio (constante em todo o fio). -
é a densidade linear de massa.
Na região
, a densidade linear de massa é constante e igual a
.
Aplicando a Fórmula:
Para encontrar a velocidade da onda nessa região:
Para encontrar a velocidade da onda nessa região:
Agora, precisamos encontrar
. Vamos usar a informação da onda na região
:
A onda é .
A onda é
Sabemos que
, onde:
Então:
Portanto:
Substituindo de volta na expressão para
na região
:
Resposta para a parte (a):
A velocidade da onda para valores grandes de é 2 m/s.
A velocidade da onda para valores grandes de
Passo 3
Vamos resolver a parte (b): Qual a amplitude da onda para valores grandes de
?
Entendendo a Teoria:
Para que não haja reflexão da onda na transição de densidade, a impedância do meio deve ser constante. A impedância de um meio para ondas longitudinais é dada por . Como a densidade muda, precisamos ajustar a amplitude para manter a impedância constante.
Para que não haja reflexão da onda na transição de densidade, a impedância do meio deve ser constante. A impedância de um meio para ondas longitudinais é dada por
Aplicando a Fórmula:
A impedância na região é:
A impedância na região
Na região
, a impedância deve ser igual para evitar reflexão:
Para manter a impedância constante, a amplitude
deve ajustar-se de forma inversamente proporcional à velocidade:
Sabemos que:
Portanto:
Considerando a região de mudança gradual:
Como a densidade diminui gradualmente, a amplitude pode aumentar para conservar a energia da onda. A relação correta leva em conta constante:
Como a densidade diminui gradualmente, a amplitude pode aumentar para conservar a energia da onda. A relação correta leva em conta
Resposta para a parte (b):
A amplitude da onda para valores grandes de é 0,006 metros.
A amplitude da onda para valores grandes de
Passo 4
Vamos resolver a parte ©: Dar
para
.
Entendendo a Teoria:
Já determinamos a velocidade e a amplitude da onda na região . Agora, precisamos expressar a função de onda nessa região, considerando a nova densidade e velocidade.
Já determinamos a velocidade e a amplitude da onda na região
Aplicando a Fórmula:
Sabemos que a forma geral da onda é:
Sabemos que a forma geral da onda é:
Já temos:
- Amplitude
- Frequência angular
- Velocidade
Calculando o número de onda
:
Portanto, a função de onda na região
é:
Resposta para a parte ©:
A função de onda para é
.
A função de onda para
Resposta
(a) A velocidade da onda para valores grandes de
é 2 m/s.
(b) A amplitude da onda para valores grandes de
é 0,006 metros.
© A função de onda para
é
.