A densidade linear de massa de um fio metálico não uniforme, sob tensão constante, diminui gradualmente ao longo do fio de modo que há transmissão de uma onda incidente sem reflexão. O fio é uniforme na região - -infty <= x <= 0. Nesta região, uma onda transversal tem a forma y(x, t)=0,003 cos (25 x-50 t), onde y e x estão em metros e t em segundos. Entre x=0 e x=20 m, a densidade linear de massa diminui gradualmente de mu1 a mu1 / 4. Para 20 <= x <= infty, a densidade linear de massa é constante mu1 / 4. (a) Qual a velocidade da onda para valores grandes de x ? (b) Qual a amplitude da onda para valores gráandes de x ? © Dar y(x, t) para 20 <= x <= infty.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede e identificar os conceitos que vamos precisar para resolvê-lo.
Enunciado Resumido:
Temos um fio metálico não uniforme sob tensão constante, onde a densidade linear de massa diminui gradualmente ao longo do fio, permitindo a transmissão de uma onda sem reflexão. O fio é uniforme na região de , onde uma onda transversal é dada por . Entre e , a densidade linear de massa diminui de para . Para , a densidade é constante em .
Conteúdo da Matéria:
  • Ondas em meios não uniformes
  • Velocidade de propagação da onda
  • Relação entre densidade linear de massa e velocidade da onda
  • Amplitude da onda em diferentes regiões
O que vamos precisar:
  1. Fórmula da velocidade da onda em termos da tensão e densidade linear de massa: .
  2. Relação entre frequência, número de onda e velocidade da onda: .
  3. Compreender como a amplitude da onda se comporta em meios com diferentes densidades para evitar reflexões.

Passo 2

Vamos resolver a parte (a): Qual a velocidade da onda para valores grandes de v = raizTmu = raizTmu1/4 = raiz4Tmu1 = 2 raizTmu1 ?
Entendendo a Teoria:
A velocidade da onda v = 5025 = 2 , m/s em um fio é dada por 2 raizTmu1 = 2 Rightarrow raizTmu1 = 1 , m/s , onde:
  • v = 2 times 1 = 2 , m/s é a tensão no fio (constante em todo o fio).
  • é a densidade linear de massa.
Na região , a densidade linear de massa é constante e igual a .
Aplicando a Fórmula:
Para encontrar a velocidade da onda nessa região:
Agora, precisamos encontrar . Vamos usar a informação da onda na região :
A onda é .
Sabemos que , onde:
Então:
Portanto:
Substituindo de volta na expressão para na região :
Resposta para a parte (a):
A velocidade da onda para valores grandes de é 2 m/s.

Passo 3

Vamos resolver a parte (b): Qual a amplitude da onda para valores grandes de Z1 = raizT mu1 ?
Entendendo a Teoria:
Para que não haja reflexão da onda na transição de densidade, a impedância do meio deve ser constante. A impedância de um meio para ondas longitudinais é dada por Z2 = raizT mu2 = raizT times mu14 = 12 raizT mu1 = Z12 . Como a densidade muda, precisamos ajustar a amplitude para manter a impedância constante.
Aplicando a Fórmula:
A impedância na região A2 = A1 times v1v2 é:
v1 = 2 , m/s e v2 = 2 , m/s
Na região A2 = A1 times 22 = A1 , a impedância deve ser igual para evitar reflexão:
A2 = A1 times raizmu1mu2 = 0,003 times raizmu1mu1/4 = 0,003 times raiz4 = 0,003 times 2 = 0,006 , m
Para manter a impedância constante, a amplitude deve ajustar-se de forma inversamente proporcional à velocidade:
Sabemos que:
Portanto:
Considerando a região de mudança gradual:
Como a densidade diminui gradualmente, a amplitude pode aumentar para conservar a energia da onda. A relação correta leva em conta constante:
Resposta para a parte (b):
A amplitude da onda para valores grandes de é 0,006 metros.

Passo 4

Vamos resolver a parte ©: Dar y(x, t) = A cos(kx - omega t) para k = omegav = 502 = 25 , rad/m .
Entendendo a Teoria:
Já determinamos a velocidade e a amplitude da onda na região y(x, t) = 0,006 cos(25x - 50t) . Agora, precisamos expressar a função de onda nessa região, considerando a nova densidade e velocidade.
Aplicando a Fórmula:
Sabemos que a forma geral da onda é:
Já temos:
  • Amplitude
  • Frequência angular
  • Velocidade
Calculando o número de onda :
Portanto, a função de onda na região é:
Resposta para a parte ©:
A função de onda para é .

Resposta

(a) A velocidade da onda para valores grandes de é 2 m/s.
(b) A amplitude da onda para valores grandes de é 0,006 metros.
© A função de onda para é .

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y(x, t)=0,02 sen pi x2 cos 40 pi t
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