A densidade é a massa dividida pelo volume. Se o volume V é dependente da temperatura, então, também o é a densidade rho. Mostre que a variação na densidade De com a variação da temperatura De é dada por
De
onde beta é o coeficiente de dilatação volumétrica. Explique o sinal negativo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente sabe que densidade é massa dividida pelo volume, ou seja, . A questão diz que o volume muda conforme a temperatura muda, então a densidade também vai mudar. Nosso objetivo é mostrar que a variação na densidade em função da variação na temperatura é dada por , onde é o coeficiente de dilatação volumétrica. Além disso, precisamos explicar por que tem um sinal negativo nessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a massa de um material geralmente não muda com a temperatura, então podemos considerar constante. Como é função da temperatura, podemos expressar o volume como , onde é o volume inicial e é o coeficiente de dilatação volumétrica. Esse coeficiente nos diz o quanto o volume muda por unidade de temperatura.

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expressão do volume na fórmula da densidade. Temos:
rho = mV = mV0(1 + beta De
Isso nos mostra que a densidade depende inversamente do volume.

Passo 4

Para encontrar a variação na densidade 11 + beta De, vamos considerar uma pequena variação na temperatura rho approx mV0(1 - beta De. Podemos usar uma aproximação para pequenas variações:
Isso simplifica a expressão da densidade para:

Passo 5

Sabemos que a densidade inicial rho approx rho0 (1 - beta De é De. Portanto, podemos escrever:
De
A variação na densidade é então:
Como , podemos simplificar para:

Passo 6

O sinal negativo na equação indica que, à medida que a temperatura aumenta ( ), a densidade diminui ( ). Isso faz sentido porque, quando um material se expande com o aumento da temperatura, seu volume aumenta enquanto a massa permanece constante, resultando em uma densidade menor.

Resposta

De

Exercícios relacionados