A densidade é a massa dividida pelo volume. Se o volume
é dependente da temperatura, então, também o é a densidade
. Mostre que a variação na densidade
com a variação da temperatura
é dada por
onde
é o coeficiente de dilatação volumétrica. Explique o sinal negativo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente sabe que densidade é massa dividida pelo volume, ou seja,
. A questão diz que o volume
muda conforme a temperatura muda, então a densidade também vai mudar. Nosso objetivo é mostrar que a variação na densidade
em função da variação na temperatura
é dada por
, onde
é o coeficiente de dilatação volumétrica. Além disso, precisamos explicar por que tem um sinal negativo nessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a massa
de um material geralmente não muda com a temperatura, então podemos considerar
constante. Como
é função da temperatura, podemos expressar o volume como
, onde
é o volume inicial e
é o coeficiente de dilatação volumétrica. Esse coeficiente nos diz o quanto o volume muda por unidade de temperatura.
Passo 3
Agora, vamos substituir essa expressão do volume na fórmula da densidade. Temos:
Isso nos mostra que a densidade depende inversamente do volume.
Passo 4
Para encontrar a variação na densidade
, vamos considerar uma pequena variação na temperatura
. Podemos usar uma aproximação para pequenas variações:
Isso simplifica a expressão da densidade para:
Passo 5
Sabemos que a densidade inicial
é
. Portanto, podemos escrever:
A variação na densidade
é então:
Como
, podemos simplificar para:
Passo 6
O sinal negativo na equação
indica que, à medida que a temperatura aumenta (
), a densidade diminui (
). Isso faz sentido porque, quando um material se expande com o aumento da temperatura, seu volume aumenta enquanto a massa permanece constante, resultando em uma densidade menor.