Um relógio de pêndulo feito de invar (liga de aço e níquel) tem um período de 0,500 s e é preciso a 20^circ C. Se o relógio for usado num clima onde a temperatura média é de 30^circ C, qual a correção (aproximadamente) necessária no fim de 30 dias do início da contagem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um relógio de pêndulo feito de invar, que tem um período de 0,500 segundos a 20°C. A gente precisa descobrir quanto esse relógio vai precisar ser corrigido depois de 30 dias se ele for usado num lugar onde a temperatura média é de 30°C.
Vamos usar conceitos de expansão térmica dos materiais e como isso afeta o período do pêndulo. Para resolver, vamos precisar das fórmulas de expansão térmica e da fórmula do período do pêndulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a temperatura afeta o pêndulo. Quando a temperatura muda, o material do pêndulo (no caso, invar) pode expandir ou contrair. Isso muda o comprimento do pêndulo, que por sua vez altera o período do pêndulo.
A fórmula do período T = 2pi raizLg de um pêndulo simples é:
Onde:
  • = período do pêndulo
  • = comprimento do pêndulo
  • = aceleração da gravidade (aproximadamente )

Passo 3

Agora, vamos ver como a temperatura afeta o comprimento De do pêndulo. A expansão linear de um material é dada por:
Onde:
  • = variação no comprimento
  • = comprimento inicial
  • = coeficiente de expansão linear do material
  • = variação de temperatura
Para o invar, o coeficiente de expansão linear é muito pequeno, mas vamos precisar do valor específico. Supondo que do invar seja aproximadamente .

Passo 4

Vamos calcular a variação de temperatura De:
T = 2pi raizL0g Rightarrow L0 = ( T2pi )^2 cdot g
Agora, precisamos do comprimento inicial L0 = ( 0,5002pi )^2 cdot 9,81 approx 0,0126 , m . Vamos rearranjar a fórmula do período para encontrar :
Substituindo os valores:

Passo 5

Com De conhecido, vamos calcular a variação no comprimento :
Então, o comprimento do pêndulo aumenta em aproximadamente 0,1512 mm devido ao aumento de temperatura.

Passo 6

Agora, vamos calcular o novo período T' = 2pi raizL0 + De após a expansão:
Então, o novo período aumenta para aproximadamente 0,5003 segundos.

Passo 7

A diferença no período é:
De
Isso significa que a cada ciclo, o pêndulo fica cerca de 0,0003 segundos mais lento.

Passo 8

Agora, vamos calcular quantos ciclos ocorrem em 30 dias. Primeiro, calculamos o número de segundos em 30 dias:
30 , dias times 24 , h/dia times 60 , min/h times 60 , s/min = 2.592.000 , s
Com um período de 0,500 s, o número de ciclos é:
Ciclos = 2.592.000 , s0,500 , s/ciclo = 5.184.000 , ciclos

Passo 9

Finalmente, a correção total De após 30 dias é:
1.555,2 , s div 60 approx 25,92 , min
Convertendo segundos para minutos:

Resposta

A correção necessária após 30 dias é aproximadamente 26 minutos.

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