Um relógio de pêndulo feito de invar (liga de aço e níquel) tem um período de e é preciso a . Se o relógio for usado num clima onde a temperatura média é de , qual a correção (aproximadamente) necessária no fim de 30 dias do início da contagem?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um relógio de pêndulo feito de invar, que tem um período de 0,500 segundos a 20°C. A gente precisa descobrir quanto esse relógio vai precisar ser corrigido depois de 30 dias se ele for usado num lugar onde a temperatura média é de 30°C.
Vamos usar conceitos de expansão térmica dos materiais e como isso afeta o período do pêndulo. Para resolver, vamos precisar das fórmulas de expansão térmica e da fórmula do período do pêndulo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a temperatura afeta o pêndulo. Quando a temperatura muda, o material do pêndulo (no caso, invar) pode expandir ou contrair. Isso muda o comprimento do pêndulo, que por sua vez altera o período do pêndulo.
A fórmula do período de um pêndulo simples é:
Onde:
= período do pêndulo
= comprimento do pêndulo
= aceleração da gravidade (aproximadamente )
Passo 3
Agora, vamos ver como a temperatura afeta o comprimento do pêndulo. A expansão linear de um material é dada por:
Onde:
= variação no comprimento
= comprimento inicial
= coeficiente de expansão linear do material
= variação de temperatura
Para o invar, o coeficiente de expansão linear é muito pequeno, mas vamos precisar do valor específico. Supondo que do invar seja aproximadamente .
Passo 4
Vamos calcular a variação de temperatura :
Agora, precisamos do comprimento inicial . Vamos rearranjar a fórmula do período para encontrar :
Substituindo os valores:
Passo 5
Com conhecido, vamos calcular a variação no comprimento :
Então, o comprimento do pêndulo aumenta em aproximadamente 0,1512 mm devido ao aumento de temperatura.
Passo 6
Agora, vamos calcular o novo período após a expansão:
Então, o novo período aumenta para aproximadamente 0,5003 segundos.
Passo 7
A diferença no período é:
Isso significa que a cada ciclo, o pêndulo fica cerca de 0,0003 segundos mais lento.
Passo 8
Agora, vamos calcular quantos ciclos ocorrem em 30 dias. Primeiro, calculamos o número de segundos em 30 dias:
Com um período de 0,500 s, o número de ciclos é:
Passo 9
Finalmente, a correção total após 30 dias é:
Convertendo segundos para minutos:
Resposta
A correção necessária após 30 dias é aproximadamente 26 minutos.