Observamos diariamente que objetos quentes e frios esfriam ou se esquentam até a temperatura do meio ambiente. Se a diferença de temperatura
entre um objeto e sua vizinhança (
) não for muito
grande, a taxa de resfriamento ou aquecimento do objeto será proporcional, aproximadamente, à diferença de temperatura, isto é,
em que
é uma constante. O sinal negativo aparece porque
decrescerá com o tempo se
for positivo e aumentará se
for negativo. Esta é conhecida com lei de Newton do resfriamento.
(a) De que fatores depende
? Qual a sua dimensão?
(b) Se, no instante
, a diferença de temperatura é
, mostre que
é igual a
num tempo
posterior.
grande, a taxa de resfriamento ou aquecimento do objeto será proporcional, aproximadamente, à diferença de temperatura, isto é,
(a) De que fatores depende
(b) Se, no instante
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A questão fala sobre a Lei de Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo até igualar com a temperatura do ambiente. Precisamos resolver duas partes:
a) Identificar de quais fatores depende a constante
e determinar sua dimensão.
b) Mostrar que, se no tempo inicial
a diferença de temperatura é
, então a diferença de temperatura em um tempo posterior
é dada por
.
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos básicos de física relacionados a troca de calor e equações diferenciais simples.
Passo 2
Vamos para a primeira parte do exercício: De que fatores depende
e qual a sua dimensão?
A constante
na Lei de Resfriamento de Newton está relacionada à taxa com que a temperatura do objeto muda. Para entender de onde ela vem, vamos olhar para a equação dada:
Aqui,
representa a taxa de variação da diferença de temperatura ao longo do tempo, e
é a diferença de temperatura entre o objeto e o ambiente.
A constante
depende de:
- Superfície do objeto (
): Quanto maior a superfície, maior a troca de calor. - Coeficiente de transferência de calor (
): Caracteriza quão facilmente o calor é transferido entre o objeto e o ambiente. - Massa do objeto (
): Objetos mais massivos demoram mais para aquecer ou esfriar. - Calor específico do material (
): Quantidade de calor necessária para mudar a temperatura do material.
Agora, para encontrar a dimensão de
, precisamos ver a dimensão da equação:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte: Mostrar que
num tempo
posterior.
Isso envolve resolver a equação diferencial dada. Vamos lá!
A equação é:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, podemos separar as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados:
A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
, então:
Onde
é a constante de integração. Podemos reescrever essa equação exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Como
é apenas uma constante, podemos chamar de
(a diferença de temperatura no tempo
):
Resposta
A diferença de temperatura ao longo do tempo é dada por
.