Observamos diariamente que objetos quentes e frios esfriam ou se esquentam até a temperatura do meio ambiente. Se a diferença de temperatura De entre um objeto e sua vizinhança ( De ) não for muito
grande, a taxa de resfriamento ou aquecimento do objeto será proporcional, aproximadamente, à diferença de temperatura, isto é,
d De
em que A é uma constante. O sinal negativo aparece porque De decrescerá com o tempo se De for positivo e aumentará se De for negativo. Esta é conhecida com lei de Newton do resfriamento.
(a) De que fatores depende A ? Qual a sua dimensão?
(b) Se, no instante t=0, a diferença de temperatura é De, mostre que De é igual a De num tempo t posterior.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A questão fala sobre a Lei de Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo até igualar com a temperatura do ambiente. Precisamos resolver duas partes:
a) Identificar de quais fatores depende a constante e determinar sua dimensão.
b) Mostrar que, se no tempo inicial a diferença de temperatura é , então a diferença de temperatura em um tempo posterior é dada por .
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos básicos de física relacionados a troca de calor e equações diferenciais simples.

Passo 2

Vamos para a primeira parte do exercício: De que fatores depende d De e qual a sua dimensão?
A constante d De na Lei de Resfriamento de Newton está relacionada à taxa com que a temperatura do objeto muda. Para entender de onde ela vem, vamos olhar para a equação dada:
Aqui, representa a taxa de variação da diferença de temperatura ao longo do tempo, e é a diferença de temperatura entre o objeto e o ambiente.
A constante depende de:
  1. Superfície do objeto ( ): Quanto maior a superfície, maior a troca de calor.
  2. Coeficiente de transferência de calor ( ): Caracteriza quão facilmente o calor é transferido entre o objeto e o ambiente.
  3. Massa do objeto ( ): Objetos mais massivos demoram mais para aquecer ou esfriar.
  4. Calor específico do material ( ): Quantidade de calor necessária para mudar a temperatura do material.
Agora, para encontrar a dimensão de , precisamos ver a dimensão da equação:
tem dimensão de temperatura por tempo, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte: Mostrar que d De num tempo d De posterior.
Isso envolve resolver a equação diferencial dada. Vamos lá!
A equação é:
integral 1De
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, podemos separar as variáveis:
ln |De
Agora, integramos ambos os lados:
De
A integral de De em relação a é , e a integral de em relação a é , então:
Onde é a constante de integração. Podemos reescrever essa equação exponenciando ambos os lados para resolver para :
Como é apenas uma constante, podemos chamar de (a diferença de temperatura no tempo ):

Resposta

A diferença de temperatura ao longo do tempo é dada por .

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