Se a densidade (massa por unidade de área) da esfera
é
, determine sua massa.
Passo 1
Beleza, então vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a massa de uma esfera definida pela equação
, onde a densidade de massa por unidade de área é dada por
. Para isso, vamos usar o cálculo integral, específicamente integrais de superfície. Vamos precisar entender como parametrizar uma esfera e calcular integrais em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação
representa uma esfera com raio
, já que
. Para facilitar nossos cálculos, vamos usar coordenadas esféricas, onde qualquer ponto na esfera pode ser descrito por dois ângulos: o ângulo polar
e o ângulo azimutal
.
Passo 3
Em coordenadas esféricas, os elementos de área na superfície da esfera são dados por:
Como nosso raio
, temos:
Esse elemento de área é o que usaremos para integrar a densidade sobre toda a superfície da esfera.
Passo 4
A massa
da esfera é obtida integrando a densidade
sobre toda a superfície da esfera:
Substituindo
e expressando
e
em coordenadas esféricas:
Portanto:
Agora, substituímos
e
na integral:
Passo 5
Vamos resolver a integral dupla:
Primeiro, resolvemos a integral com respeito a
:
Usando uma identidade da integral:
Então:
Agora, a integral com respeito a
:
Multiplicando tudo:
Resposta
A massa da esfera é
unidades de massa.
Exercícios relacionados
(a) Faça o gráfico da função
5 - (2,0) Determine o fluxo de
através de
em que
é a superfície do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
, com o vetor normal a
apontando para fora.