4 - (2,0) Se a densidade (massa por unidade de área) da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 9 é rho(x, y, z) = x^2 + y^2, determine sua massa.

Passo 1

Beleza, então vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a massa de uma esfera definida pela equação , onde a densidade de massa por unidade de área é dada por . Para isso, vamos usar o cálculo integral, específicamente integrais de superfície. Vamos precisar entender como parametrizar uma esfera e calcular integrais em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação representa uma esfera com raio , já que . Para facilitar nossos cálculos, vamos usar coordenadas esféricas, onde qualquer ponto na esfera pode ser descrito por dois ângulos: o ângulo polar e o ângulo azimutal .

Passo 3

Em coordenadas esféricas, os elementos de área na superfície da esfera são dados por:
Como nosso raio , temos:
Esse elemento de área é o que usaremos para integrar a densidade sobre toda a superfície da esfera.

Passo 4

A massa da esfera é obtida integrando a densidade sobre toda a superfície da esfera:
í
Substituindo e expressando e em coordenadas esféricas:
Portanto:
Agora, substituímos e na integral:
í

Passo 5

Vamos resolver a integral dupla:
Primeiro, resolvemos a integral com respeito a :
Usando uma identidade da integral:
Então:
Agora, a integral com respeito a :
Multiplicando tudo:

Resposta

A massa da esfera é unidades de massa.

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