Fótons representam quantos de energia eletromagnética. Considere uma cavidade cúbica de volume com as paredes a 3000 K . Determine o número médio de fótons na cavidade com frequências entre e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre fótons, que são partículas de energia eletromagnética. A gente tem uma cavidade cúbica com volume e as paredes estão a uma temperatura de 3000 K. A tarefa é descobrir quantos fótons, em média, existem dentro dessa cavidade com frequências entre Hz e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física sobre radiação de corpo negro e a distribuição de fótons.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender quantos estados de energia estão disponíveis para os fótons na cavidade. Em uma cavidade cúbica, a densidade de estados para fótons por unidade de frequência é dada por:
Aqui, é o volume da cavidade e é a velocidade da luz.
Passo 3
Agora, precisamos saber a média de fótons por estado de frequência, que segue a distribuição de Bose-Einstein. A média de fótons por modo é:
Onde:
é a constante de Planck,
é a constante de Boltzmann,
é a temperatura.
Passo 4
Para encontrar o número total médio de fótons na cavidade entre as frequências e , precisamos integrar a densidade de estados multiplicada pela média de fótons por estado ao longo desse intervalo:
Passo 5
Vamos agora inserir os valores conhecidos nas equações. As constantes são:
,
,
,
,
.
Então, a integral fica:
Passo 6
Essa integral pode ser complexa para resolver analiticamente, então vamos usar uma aproximação ou calcular numericamente. Para simplificar, vamos considerar que a energia dos fótons é relativamente baixa comparada à temperatura, permitindo uma aproximação.
Após calcular a integral (usando métodos numéricos ou software apropriado), obtemos o número médio de fótons na cavidade.
Resposta
Após realizar os cálculos, o número médio de fótons na cavidade com frequências entre e é aproximadamente fótons.