Fótons representam quantos de energia eletromagnética. Considere uma cavidade cúbica de volume com as paredes a 3000 K . Determine o número médio de fótons na cavidade com frequências entre e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre fótons, que são partículas de energia eletromagnética. A gente tem uma cavidade cúbica com volume e as paredes estão a uma temperatura de 3000 K. A tarefa é descobrir quantos fótons, em média, existem dentro dessa cavidade com frequências entre Hz e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física sobre radiação de corpo negro e a distribuição de fótons.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender quantos estados de energia estão disponíveis para os fótons na cavidade. Em uma cavidade cúbica, a densidade de estados para fótons por unidade de frequência é dada por:
Aqui, é o volume da cavidade e é a velocidade da luz.

Passo 3

Agora, precisamos saber a média de fótons por estado de frequência, que segue a distribuição de Bose-Einstein. A média de fótons por modo é:
Onde:
  • é a constante de Planck,
  • é a constante de Boltzmann,
  • é a temperatura.

Passo 4

Para encontrar o número total médio de fótons na cavidade entre as frequências e , precisamos integrar a densidade de estados multiplicada pela média de fótons por estado ao longo desse intervalo:

Passo 5

Vamos agora inserir os valores conhecidos nas equações. As constantes são:
  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
  • .
Então, a integral fica:

Passo 6

Essa integral pode ser complexa para resolver analiticamente, então vamos usar uma aproximação ou calcular numericamente. Para simplificar, vamos considerar que a energia dos fótons é relativamente baixa comparada à temperatura, permitindo uma aproximação.
Após calcular a integral (usando métodos numéricos ou software apropriado), obtemos o número médio de fótons na cavidade.

Resposta

Após realizar os cálculos, o número médio de fótons na cavidade com frequências entre e é aproximadamente fótons.

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