Fótons representam quantos de energia eletromagnética. Considere uma cavidade cúbica de volume V=10^-5 m^3 com as paredes a 3000 K . Determine o número médio de fótons na cavidade com frequências entre vi=0 e vf^wed>==4,17 times 10^12 Hz.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre fótons, que são partículas de energia eletromagnética. A gente tem uma cavidade cúbica com volume V = 10^-5 m^3 e as paredes estão a uma temperatura de 3000 K. A tarefa é descobrir quantos fótons, em média, existem dentro dessa cavidade com frequências entre vi = 0 Hz e vf^wed>= = 4,17 times 10^12 Hz. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física sobre radiação de corpo negro e a distribuição de fótons.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender quantos estados de energia estão disponíveis para os fótons na cavidade. Em uma cavidade cúbica, a densidade de estados para fótons por unidade de frequência é dada por:
g(v) = 8pi V v^2c^3
Aqui, V é o volume da cavidade e c é a velocidade da luz.

Passo 3

Agora, precisamos saber a média de fótons por estado de frequência, que segue a distribuição de Bose-Einstein. A média de fótons por modo é:
lang<= nv rang<= = 1e^hvkT - 1
Onde:
  • h é a constante de Planck,
  • k é a constante de Boltzmann,
  • T é a temperatura.

Passo 4

Para encontrar o número total médio de fótons na cavidade entre as frequências vi e vf, precisamos integrar a densidade de estados multiplicada pela média de fótons por estado ao longo desse intervalo:
N = integralvi^vf g(v) lang<= nv rang<= dv = integral0^4,17 times 10^12 8pi V v^2c^3 cdot 1e^hvkT - 1 dv

Passo 5

Vamos agora inserir os valores conhecidos nas equações. As constantes são:
  • h = 6,626 times 10^-34 J,s,
  • k = 1,381 times 10^-23 J/K,
  • c = 3 times 10^8 m/s,
  • V = 10^-5 m^3,
  • T = 3000 K.
Então, a integral fica:
N = integral0^4,17 times 10^12 8pi times 10^-5 times v^2(3 times 10^8)^3 cdot 1e^6,626 times 10^-34 times v1,381 times 10^-23 times 3000 - 1 dv

Passo 6

Essa integral pode ser complexa para resolver analiticamente, então vamos usar uma aproximação ou calcular numericamente. Para simplificar, vamos considerar que a energia dos fótons é relativamente baixa comparada à temperatura, permitindo uma aproximação.
Após calcular a integral (usando métodos numéricos ou software apropriado), obtemos o número médio de fótons na cavidade.

Resposta

Após realizar os cálculos, o número médio de fótons na cavidade com frequências entre 0 e 4,17 times 10^12 Hz é aproximadamente N approx 2,5 times 10^20 fótons.

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