A densidade volumétrica de carga para uma distribuição esférica de raio
é dada por
. Calcule a carga total em um hemisfério, sabendo que
é uma distância contada a partir do centro da esfera. Estude os limites do seu resultado.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado nos fala sobre a densidade volumétrica de carga em uma distribuição esférica e pede para calcular a carga total em um hemisfério. Aqui, estamos lidando com conceitos de eletrostática, especificamente densidade de carga e integração em coordenadas esféricas. Vamos precisar usar cálculo integral e entender as propriedades de simetria de uma esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a densidade volumétrica de carga dada:
Aqui,
é a densidade de carga em função da distância
a partir do centro da esfera.
e
são constantes.
Passo 3
Para encontrar a carga total em um hemisfério, precisamos integrar a densidade de carga sobre o volume desse hemisfério. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é:
Como estamos lidando com um hemisfério, os limites de integração serão:
-
vai de 0 até (raio da esfera), -
vai de 0 até (meia esfera), -
vai de 0 até .
Passo 4
Agora, vamos montar a integral para a carga total
:
Substituindo
e
:
Perceba que
no numerador e no denominador se cancelam.
Passo 5
Simplificando a integral:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 6
Primeiro, a integral em
:
Em seguida, a integral em
:
Por fim, a integral em
:
Passo 7
Agora, juntando tudo:
Passo 8
Vamos estudar os limites do resultado:
- Quando
tende a infinito ( ):
Então,
- Quando
tende a zero ( ):
Então,
Resposta
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e
, sabendo que os dois fios estão afastados por uma distância
e posicionados na direção
.
Resposta:
Resposta:
Seja
. Determine a equação da reta que é tangente ao gráfico de
e paralela a reta
.
Um disco localizado entre
tem uma distribuição superficial uniforme de carga dada por
. Se uma carga pontual de
é colocada na origem do sistema de coordenadas, calcule o vetor de força que atua sobre a carga pontual.
Resposta: .
Resposta:
Determine o vetor de força exercida por
que está no ponto
sobre uma carga
que está no ponto
. As coordenadas são dadas em metro. Dica: aplicação da lei de Coulomb no formato vetorial.