A densidade volumétrica de carga para uma distribuição esférica de raio R é dada por K e^-a r / r^2. Calcule a carga total em um hemisfério, sabendo que r é uma distância contada a partir do centro da esfera. Estude os limites do seu resultado.
Resposta: Q=2 K pia(1-e^-a R)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado nos fala sobre a densidade volumétrica de carga em uma distribuição esférica e pede para calcular a carga total em um hemisfério. Aqui, estamos lidando com conceitos de eletrostática, especificamente densidade de carga e integração em coordenadas esféricas. Vamos precisar usar cálculo integral e entender as propriedades de simetria de uma esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a densidade volumétrica de carga dada:
rho(r) = K e^-a rr^2
Aqui, é a densidade de carga em função da distância a partir do centro da esfera. e são constantes.

Passo 3

Para encontrar a carga total em um hemisfério, precisamos integrar a densidade de carga sobre o volume desse hemisfério. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é:
dV = r^2 sin theta , dr , dtheta , dphi
Como estamos lidando com um hemisfério, os limites de integração serão:
  • vai de 0 até (raio da esfera),
  • vai de 0 até (meia esfera),
  • vai de 0 até .

Passo 4

Agora, vamos montar a integral para a carga total Q = integral0^2pi integral0^pi/2 integral0^R rho(r) , dV :
Q = integral0^2pi integral0^pi/2 integral0^R K e^-a rr^2 cdot r^2 sin theta , dr , dtheta , dphi
Substituindo e :
Perceba que no numerador e no denominador se cancelam.

Passo 5

Simplificando a integral:
Q = K integral0^2pi dphi integral0^pi/2 sin theta , dtheta integral0^R e^-a r , dr
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 6

Primeiro, a integral em integral0^2pi dphi = 2pi :
integral0^pi/2 sin theta , dtheta = 1
Em seguida, a integral em integral0^R e^-a r , dr = [ -1a e^-a r ]0^R = 1a (1 - e^-a R) :
Por fim, a integral em :

Passo 7

Agora, juntando tudo:
Q = K cdot 2pi cdot 1 cdot 1a (1 - e^-a R) = 2 K pia (1 - e^-a R)

Passo 8

Vamos estudar os limites do resultado:
  • Quando 1 - e^-a R to 1 tende a infinito ( Q to 2 K pia ):
1 - e^-a R approx a R (usando a série de Taylor)
Então,
Q approx 2 K pia cdot a R = 2 K pi R to 0 quando R to 0
  • Quando tende a zero ( ):
é
Então,

Resposta

Q = 2 K pia (1 - e^-a R)

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