Um disco localizado entre
tem uma distribuição superficial uniforme de carga dada por
. Se uma carga pontual de
é colocada na origem do sistema de coordenadas, calcule o vetor de força que atua sobre a carga pontual.
Resposta:
.
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco com carga superficial uniforme de
, que está localizado entre
e a
. Além disso, há uma carga pontual de
colocada na origem do sistema de coordenadas. Nosso objetivo é calcular o vetor força que atua sobre essa carga pontual. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb e o princípio da superposição das forças elétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força elétrica entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb:
onde:
-
é a constante eletrostática, -
e são as cargas, -
é a distância entre as cargas, -
é o vetor unitário na direção de .
No nosso caso, temos uma distribuição contínua de carga no disco, então vamos precisar integrar essa força sobre toda a superfície do disco para encontrar a força total atuando sobre a carga pontual.
Passo 3
Vamos considerar um elemento diferencial de área
no disco, localizado em coordenadas cilíndricas
. A carga desse elemento é
. A distância entre
e a carga pontual na origem é:
e o vetor unitário na direção de
para a origem é:
A força diferencial exercida por
na carga pontual
é então:
Passo 4
Substituindo
e
na expressão da força diferencial:
Simplificando:
Passo 5
Agora, para encontrar a força total, vamos integrar
sobre toda a superfície do disco. Note que, devido à simetria circular, as componentes radiais (
) se cancelam quando integradas em torno de
de
a
. Portanto, a única contribuição será na direção
:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Fazendo uma substituição
,
, então:
Resolvendo as integrais:
Simplificando, obtemos:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da força:
Agora, substituindo os valores dados:
Passo 8
Calculando os valores:
Simplificando:
Calculando:
Resposta
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