Um disco localizado entre 0 <= rho <= 1 mez z=1 m tem uma distribuição superficial uniforme de carga dada por sigma=200 pC / m^2. Se uma carga pontual de 30 mu C é colocada na origem do sistema de coordenadas, calcule o vetor de força que atua sobre a carga pontual.
Resposta: F=(99,2) k mu N.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco com carga superficial uniforme de sigma = 200 , pC/m²², que está localizado entre 0 <= rho <= 1 , m e a z = 1 , m. Além disso, há uma carga pontual de 30 , muC colocada na origem do sistema de coordenadas. Nosso objetivo é calcular o vetor força que atua sobre essa carga pontual. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Coulomb e o princípio da superposição das forças elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força elétrica entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb:
F = ke q1 q2r^2 r
onde:
  • ke = 8.988 times 10^9 , N cdot m²/C²²² é a constante eletrostática,
  • q1 e q2 são as cargas,
  • r é a distância entre as cargas,
  • r é o vetor unitário na direção de r.
No nosso caso, temos uma distribuição contínua de carga no disco, então vamos precisar integrar essa força sobre toda a superfície do disco para encontrar a força total atuando sobre a carga pontual.

Passo 3

Vamos considerar um elemento diferencial de área dA no disco, localizado em coordenadas cilíndricas (rho, phi, z). A carga desse elemento é dq = sigma , dA = sigma rho , drho , dphi. A distância entre dq e a carga pontual na origem é:
r = raizrho^2 + z^2
e o vetor unitário na direção de dq para a origem é:
r = -rho rho - z kr
A força diferencial exercida por dq na carga pontual Q = 30 , muC é então:
dF = ke Q dqr^2 r

Passo 4

Substituindo dq e r na expressão da força diferencial:
dF = ke Q sigma rho , drho , dphi(rho^2 + z^2) ( -rho rho - z kraizrho^2 + z^2 )
Simplificando:

Passo 5

Agora, para encontrar a força total, vamos integrar dF sobre toda a superfície do disco. Note que, devido à simetria circular, as componentes radiais ( rho) se cancelam quando integradas em torno de phi de 0 a 2pi. Portanto, a única contribuição será na direção z:

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Fazendo uma substituição integral0^1 rho^2(rho^2 + z^2)^3/2 drho , u = rho^2 + z^2, então:
Resolvendo as integrais:
du = 2rho drho
Simplificando, obtemos:
12 integralz^2^1 + z^2 u - z^2u^3/2 du = 12 [ integralz^2^1 + z^2 u^-1/2 du - z^2 integralz^2^1 + z^2 u^-3/2 du ]

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da força:
Agora, substituindo os valores dados:
F = -ke Q sigma z cdot 2piraiz1 + z^2 k ²²
ke = 8.988 times 10^9 , N cdot m²/C²
Q = 30 times 10^-6 , C ²
sigma = 200 times 10^-12 , C/m²

Passo 8

Calculando os valores:
Simplificando:
Calculando:
F = -8.988 times 10^9 times 30 times 10^-6 times 200 times 10^-12 times 1 times 2piraiz1 + 1 k

Resposta

F = (99,2) k , muN.

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