Seja
. Determine a equação da reta que é tangente ao gráfico de
e paralela a reta
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função
que seja paralela à reta
. O conteúdo aqui envolve o conceito de derivadas, que nos ajuda a encontrar a inclinação da tangente em um ponto específico da função. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e igualar à inclinação da reta dada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada, que chamamos de
, nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
. A derivada de
é dada por:
Agora, sabemos que a reta que queremos encontrar é paralela à reta
. Isso significa que a inclinação da reta tangente também deve ser
. Assim, para encontrar o ponto
onde a tangente tem essa inclinação, vamos igualar
a
:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
:
Então, o ponto onde a reta tangente tem a inclinação desejada é em
. Agora, vamos encontrar o valor correspondente de
para esse
. Vamos calcular
:
Portanto, o ponto de tangência é
.
Passo 4
Agora que temos o ponto de tangência e a inclinação, podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta, que é dada por:
Aqui,
é a inclinação (que é
), e
é o ponto de tangência
. Substituindo os valores na fórmula, temos:
Vamos simplificar essa equação:
Passo 5
Multiplicando os dois lados da equação por 2 para eliminar a fração, ficamos com:
Expandindo isso, temos:
Agora, vamos rearranjar para deixar a equação na forma padrão
:
Resolvendo o que está do lado direito:
E dividindo tudo por 2:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de
e que é paralela à reta
é: