Seja f(x)=x^2. Determine a equação da reta que é tangente ao gráfico de f e paralela a reta y=12 x+3.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x^2 que seja paralela à reta y = 12 x + 3. O conteúdo aqui envolve o conceito de derivadas, que nos ajuda a encontrar a inclinação da tangente em um ponto específico da função. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e igualar à inclinação da reta dada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função f(x) = x^2. A derivada, que chamamos de f'(x), nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto x. A derivada de x^2 é dada por:
f'(x) = 2x
Agora, sabemos que a reta que queremos encontrar é paralela à reta y = 12 x + 3. Isso significa que a inclinação da reta tangente também deve ser 12. Assim, para encontrar o ponto x onde a tangente tem essa inclinação, vamos igualar f'(x) a 12:
2x = 12

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de x:
x = 12 cdot 12 = 14
Então, o ponto onde a reta tangente tem a inclinação desejada é em x = 14. Agora, vamos encontrar o valor correspondente de f(x) para esse x. Vamos calcular f(14):
f(14) = (14)^2 = 116
Portanto, o ponto de tangência é (14, 116).

Passo 4

Agora que temos o ponto de tangência e a inclinação, podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta, que é dada por:
y - y1 = m(x - x1)
Aqui, m é a inclinação (que é 12), e (x1, y1) é o ponto de tangência (14, 116). Substituindo os valores na fórmula, temos:
y - 116 = 12(x - 14)
Vamos simplificar essa equação:

Passo 5

Multiplicando os dois lados da equação por 2 para eliminar a fração, ficamos com:
2(y - 116) = x - 14
Expandindo isso, temos:
2y - 18 = x - 14
Agora, vamos rearranjar para deixar a equação na forma padrão y = mx + b:
2y = x + 14 - 18
Resolvendo o que está do lado direito:
2y = x + 18
E dividindo tudo por 2:
y = 12x + 116

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x^2 e que é paralela à reta y = 12x + 3 é:
y = 12x + 116

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