Determine o rotacional e o divergente do campo indicado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar o rotacional e o divergente do campo vetorial
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente sobre operações com campos vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar usar as definições de rotacional (também conhecido como “curl”) e divergente (também chamado de “div”) e aplicar as diferenciadas parciais nas componentes do campo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular cada componente do rotacional:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Então, o rotacional é:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular o divergente de
. O divergente é dado por:
Substituindo:
Resposta
O rotacional do campo
é:
E o divergente do campo
é: