Determine o rotacional e o divergente do campo indicado:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar o rotacional e o divergente do campo vetorial . Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente sobre operações com campos vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar usar as definições de rotacional (também conhecido como “curl”) e divergente (também chamado de “div”) e aplicar as diferenciadas parciais nas componentes do campo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
No nosso caso, , e .

Passo 3

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Componente :
  1. Componente :
  1. Componente :
Então, o rotacional é:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular o divergente de . O divergente é dado por:
Substituindo:

Resposta

O rotacional do campo é:
E o divergente do campo é:

Exercícios relacionados

Dentre as alternativas abaixo, qual representa o par de retas tangente e normal à curva
(a) e
(b) e
© e
(d) e
(e) e
Seja diferenciável. Calcule , sabendo que e que é igual a área da região entre o gráfico de e a reta .
Usando integrais, determine o volume da pirâmide regular com altura e base quadrada de lado .
Determine o rotacional e o divergente do campo indicado:
a)