Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar alguns critérios básicos. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear e propriedades de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é chamado de subespaço se:
- Contém o vetor zero: O vetor
está em . - É fechado sob adição: Se
e estão em , então também está em . - É fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar cada um desses pontos para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se contém o vetor zero:
O vetor zero em
é
.
Vamos ver se existe um
tal que
.
Substituindo
nas demais coordenadas:
Então, quando
,
. Portanto,
contém o vetor zero.
Passo 4
2. Verificando a fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
:
Vamos somar esses vetores:
Observamos que a soma
também está na forma
, onde
. Como
é um número real,
está em
. Então,
é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificando a fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em
:
E um escalar
. Vamos multiplicar:
Note que
é um número real, então
também está na forma
, onde
. Assim,
está em
, o que mostra que
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
satisfaz todas as condições necessárias (contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar),
é um subespaço de
.