Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de R^2: S=(4 x, 2 x,-x) ; x in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto é um subespaço de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar alguns critérios básicos. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear e propriedades de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de subespaço se:
  1. Contém o vetor zero: O vetor está em .
  2. É fechado sob adição: Se e estão em , então também está em .
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar cada um desses pontos para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se contém o vetor zero:
O vetor zero em 4x = 0 implies x = 0 é 2x = 0 e -x = 0 .
Vamos ver se existe um tal que .
Substituindo nas demais coordenadas:
Então, quando , . Portanto, contém o vetor zero.

Passo 4

2. Verificando a fechamento sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em u = (4x1, 2x1, -x1) e v = (4x2, 2x2, -x2) :
u + v = (4x1 + 4x2, 2x1 + 2x2, -x1 - x2) = (4(x1 + x2), 2(x1 + x2), -(x1 + x2))
Vamos somar esses vetores:
Observamos que a soma também está na forma , onde . Como é um número real, está em . Então, é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificando a fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em u = (4x, 2x, -x) :
cu = (4cx, 2cx, -cx) = (4(c x), 2(c x), -(c x))
E um escalar . Vamos multiplicar:
Note que é um número real, então também está na forma , onde . Assim, está em , o que mostra que é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como satisfaz todas as condições necessárias (contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar), é um subespaço de .

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