(Determinar se cada matriz abaixo indicada é invertível; em caso afirmativo, calcular sua inversa.)
20.4 A=[ccc1 & 1 & m 1 & m & 1 m & 1 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz 3x3 chamada e queremos descobrir se ela é inversível. Se for, a gente também vai calcular a inversa dela. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e matrizes inversas. Primeiro, precisamos calcular o determinante da matriz . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível. Depois, vamos usar a fórmula da matriz inversa que envolve a adjunta e o determinante.

Passo 2

Vamos começar calculando o determinante da matriz A = 1 & 1 & m 1 & m & 1 m & 1 & 1 . A matriz é:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a fórmula geral. Vou usar a fórmula geral aqui. O determinante a = 1, b = 1, c = m, d = 1, e = m, f = 1, g = m, h = 1, i = 1 é:
det(A) = 1 cdot (m cdot 1 - 1 cdot 1) - 1 cdot (1 cdot 1 - m cdot 1) + m cdot (1 cdot 1 - m cdot m)
Onde para nossa matriz:
det(A) = 1 cdot (m - 1) - 1 cdot (1 - m) + m cdot (1 - m^2)
Substituindo esses valores:
det(A) = (m - 1) - (1 - m) + m(1 - m^2)
Simplificando cada termo:
det(A) = m - 1 - 1 + m + m - m^3
det(A) = 3m - m^3 - 2

Passo 3

Agora que temos a expressão do determinante:
det(A) = -m^3 + 3m - 2
Para saber se a matriz é inversível, precisamos que -1^3 + 3 cdot 1 - 2 = -1 + 3 - 2 = 0 . Vamos resolver a equação -8 + 6 - 2 = -4 neq 0 para encontrar os valores de 0 + 0 - 2 = -2 neq 0 onde o determinante é zero.
Testando alguns valores de :
Para :
Então, torna o determinante zero, ou seja, a matriz não é inversível para .
Para :
Para :
Portanto, a matriz é inversível para todo diferente de 1.

Passo 4

Agora que sabemos que A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) quando , podemos calcular a inversa da matriz .
A fórmula para a matriz inversa é:
Onde é a adjunta de , que é a transposta da matriz dos cofatores de .
Primeiro, vamos calcular os cofatores de cada elemento de .

Passo 5

Vamos encontrar a matriz dos cofatores de Cij = (-1)^i+j cdot Mij . Cada cofator m & 1 1 & 1 é dado por:
1 & 1 m & 1
onde 1 & m m & 1 é o menor complementar, ou determinante da submatriz que sobra quando removemos a i-ésima linha e a j-ésima coluna.
Calculando cada cofator:
  1. 1 & m 1 & 1
  2. 1 & m m & 1
  3. 1 & 1 m & 1
  4. 1 & m m & 1
  5. 1 & 1 m & 1
  6. 1 & 1 1 & m
  7. Cof(A) = m - 1 & m - 1 & 1 - m^2 m - 1 & 1 - m^2 & m - 1 1 - m^2 & m - 1 & m - 1
Agora, a matriz dos cofatores é:

Passo 6

A adjunta de adj(A) = m - 1 & m - 1 & 1 - m^2 m - 1 & 1 - m^2 & m - 1 1 - m^2 & m - 1 & m - 1 ^T = m - 1 & m - 1 & 1 - m^2 m - 1 & 1 - m^2 & m - 1 1 - m^2 & m - 1 & m - 1 , , é a transposta da matriz dos cofatores:
Note que, neste caso, a matriz dos cofatores já é simétrica, então a transposta é igual à matriz original.

Passo 7

Agora, podemos finalmente calcular a inversa de A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) = 1-m^3 + 3m - 2 cdot m - 1 & m - 1 & 1 - m^2 m - 1 & 1 - m^2 & m - 1 1 - m^2 & m - 1 & m - 1 :
A^-1 = 1-m^3 + 3m - 2 cdot m - 1 & m - 1 & 1 - m^2 m - 1 & 1 - m^2 & m - 1 1 - m^2 & m - 1 & m - 1
Simplificando, temos a inversa de para :

Resposta

A matriz A^-1 = 1-m^3 + 3m - 2 cdot m - 1 & m - 1 & 1 - m^2 m - 1 & 1 - m^2 & m - 1 1 - m^2 & m - 1 & m - 1 é inversível para todo valor de diferente de 1, e a sua inversa é dada por:

Exercícios relacionados