(Determinar se cada matriz abaixo indicada é invertível; em caso afirmativo, calcular sua inversa.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz 3x3 chamada e queremos descobrir se ela é inversível. Se for, a gente também vai calcular a inversa dela. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e matrizes inversas. Primeiro, precisamos calcular o determinante da matriz . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível. Depois, vamos usar a fórmula da matriz inversa que envolve a adjunta e o determinante.
Passo 2
Vamos começar calculando o determinante da matriz . A matriz é:
O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a fórmula geral. Vou usar a fórmula geral aqui. O determinante é:
Onde para nossa matriz:
Substituindo esses valores:
Simplificando cada termo:
Passo 3
Agora que temos a expressão do determinante:
Para saber se a matriz é inversível, precisamos que . Vamos resolver a equação para encontrar os valores de onde o determinante é zero.
Testando alguns valores de :
Para :
Então, torna o determinante zero, ou seja, a matriz não é inversível para .
Para :
Para :
Portanto, a matriz é inversível para todo diferente de 1.
Passo 4
Agora que sabemos que quando , podemos calcular a inversa da matriz .
A fórmula para a matriz inversa é:
Onde é a adjunta de , que é a transposta da matriz dos cofatores de .
Primeiro, vamos calcular os cofatores de cada elemento de .
Passo 5
Vamos encontrar a matriz dos cofatores de . Cada cofator é dado por:
onde é o menor complementar, ou determinante da submatriz que sobra quando removemos a i-ésima linha e a j-ésima coluna.
Calculando cada cofator:
Agora, a matriz dos cofatores é:
Passo 6
A adjunta de , , é a transposta da matriz dos cofatores:
Note que, neste caso, a matriz dos cofatores já é simétrica, então a transposta é igual à matriz original.
Passo 7
Agora, podemos finalmente calcular a inversa de :
Simplificando, temos a inversa de para :
Resposta
A matriz é inversível para todo valor de diferente de 1, e a sua inversa é dada por: