Quantos são os planos determinados por 4 pontos não coplanares?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria que pergunta quantos planos são determinados por 4 pontos que não estão todos no mesmo plano (não coplanares). Para isso, vamos usar conceitos de combinatória e geometria espacial, especialmente o fato de que três pontos não alinhados sempre determinam um plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que qualquer três pontos que não estão alinhados determinam um único plano. Como temos 4 pontos, vamos ver de quantas maneiras podemos escolher 3 pontos entre esses 4.

Passo 3

Para calcular isso, usamos a combinação, que nos diz de quantas formas podemos selecionar um subconjunto sem se importar com a ordem. A fórmula da combinação é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Onde é o número total de elementos e é o número de elementos que queremos escolher.

Passo 4

Aplicando a fórmula para nossos 4 pontos, temos:
C(4, 3) = 4!3!(4 - 3)! = 4 times 3 times 2 times 1(3 times 2 times 1)(1) = 4
Isso significa que existem 4 maneiras de escolher 3 pontos entre os 4.

Passo 5

Cada uma dessas combinações de 3 pontos determina um plano único. Portanto, se os 4 pontos não estão todos no mesmo plano, cada trio de pontos define um plano diferente.

Resposta

Existem 4 planos determinados por 4 pontos não coplanares.

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