Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de
:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto
e precisamos determinar se ele é um subespaço de
. Para isso, vamos usar os conceitos de subespaço vetorial, que envolvem verificar se o conjunto satisfaz três propriedades principais: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto
. O vetor zero em
é
. Substituindo na condição
:
Como a equação é verdadeira, o vetor zero pertence a
.
Passo 3
Agora, vamos conferir se
é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve pertencer a
.
Sejam
e
dois vetores em
. Então, temos:
Somando os vetores:
Para que
pertença a
, deve valer:
Substituindo
e
:
Como a igualdade é verdadeira,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por fim, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos qualquer vetor em
por um escalar
, o resultado também deve pertencer a
.
Seja
um vetor em
. Multiplicando por
:
Para que
pertença a
, deve valer:
Substituindo
:
A igualdade é verdadeira, então
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto
é um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Determine o simétrico do ponto
em relação à reta
, nos casos:
. R.:
Considere o triângulo de vértices
, e
. Calcule a área desse triângulo;
Considere o triângulo de vértices
, e
. Verifique que o triângulo é isósceles e calcule seu perímetro. R.: O perímetro é
.
Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de
: