Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de R^2: S=(x, y, z) in R^3 ; z=2 x-y

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto e precisamos determinar se ele é um subespaço de . Para isso, vamos usar os conceitos de subespaço vetorial, que envolvem verificar se o conjunto satisfaz três propriedades principais: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto 0 = 2 cdot 0 - 0 . O vetor zero em 0 = 0 é . Substituindo na condição :
Como a equação é verdadeira, o vetor zero pertence a .

Passo 3

Agora, vamos conferir se z1 = 2x1 - y1 é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em z2 = 2x2 - y2 , a soma deles também deve pertencer a u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) .
Sejam z1 + z2 = 2(x1 + x2) - (y1 + y2) e 2x1 - y1 + 2x2 - y2 = 2x1 + 2x2 - y1 - y2 dois vetores em . Então, temos:
Somando os vetores:
Para que pertença a , deve valer:
Substituindo e :
Como a igualdade é verdadeira, é fechado sob adição.

Passo 4

Por fim, vamos verificar se k cdot u = (k x, k y, k z) é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos qualquer vetor em k z = 2(k x) - k y por um escalar k (2x - y) = 2k x - k y , o resultado também deve pertencer a 2k x - k y = 2k x - k y .
Seja um vetor em . Multiplicando por :
Para que pertença a , deve valer:
Substituindo :
A igualdade é verdadeira, então é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto é um subespaço de .

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