Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de :

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto e precisamos determinar se ele é um subespaço de . Para isso, vamos usar os conceitos de subespaço vetorial, que envolvem verificar se o conjunto satisfaz três propriedades principais: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto . O vetor zero em é . Substituindo na condição :
Como a equação é verdadeira, o vetor zero pertence a .

Passo 3

Agora, vamos conferir se é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve pertencer a .
Sejam e dois vetores em . Então, temos:
Somando os vetores:
Para que pertença a , deve valer:
Substituindo e :
Como a igualdade é verdadeira, é fechado sob adição.

Passo 4

Por fim, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos qualquer vetor em por um escalar , o resultado também deve pertencer a .
Seja um vetor em . Multiplicando por :
Para que pertença a , deve valer:
Substituindo :
A igualdade é verdadeira, então é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto é um subespaço de .

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Determine o simétrico do ponto em relação à reta , nos casos: . R.:
Considere o triângulo de vértices , e . Calcule a área desse triângulo;
Considere o triângulo de vértices , e . Verifique que o triângulo é isósceles e calcule seu perímetro. R.: O perímetro é .
Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de :