Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente ver se o conjunto é um subespaço de . Primeiro, vamos entender o que é um subespaço e o que precisamos para verificar isso.
Passo 2
Um subespaço de é um conjunto que satisfaz três condições principais:
Contém o vetor zero: ou seja, o vetor está no conjunto.
Fechado sob adição: se você pegar dois vetores do conjunto e somar, o resultado também está no conjunto.
Fechado sob multiplicação escalar: se você multiplicar um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado ainda está no conjunto.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto . Esse conjunto consiste em todos os vetores onde as três componentes são iguais. Por exemplo, , , etc.
Passo 4
Primeiro, vamos verificar se contém o vetor zero. O vetor zero em é . Como , ele está no conjunto . Então, a primeira condição é satisfeita.
Passo 5
Agora, vamos ver se é fechado sob adição. Suponha que temos dois vetores em :
A soma desses vetores é:
Note que cada componente da soma ainda é igual, ou seja, . Portanto, também está em .
Passo 6
Por fim, vamos verificar a multiplicação escalar. Pegue um vetor qualquer em :
Multiplicando por um escalar , temos:
Novamente, todas as componentes permanecem iguais, então também está em .