Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente ver se o conjunto
é um subespaço de
. Primeiro, vamos entender o que é um subespaço e o que precisamos para verificar isso.
Passo 2
Um subespaço de
é um conjunto que satisfaz três condições principais:
- Contém o vetor zero: ou seja, o vetor
está no conjunto. - Fechado sob adição: se você pegar dois vetores do conjunto e somar, o resultado também está no conjunto.
- Fechado sob multiplicação escalar: se você multiplicar um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado ainda está no conjunto.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto
. Esse conjunto consiste em todos os vetores onde as três componentes são iguais. Por exemplo,
,
, etc.
Passo 4
Primeiro, vamos verificar se
contém o vetor zero. O vetor zero em
é
. Como
, ele está no conjunto
. Então, a primeira condição é satisfeita.
Passo 5
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Suponha que temos dois vetores em
:
A soma desses vetores é:
Note que cada componente da soma ainda é igual, ou seja,
. Portanto,
também está em
.
Passo 6
Por fim, vamos verificar a multiplicação escalar. Pegue um vetor qualquer em
:
Multiplicando por um escalar
, temos:
Novamente, todas as componentes permanecem iguais, então
também está em
.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço de
.