Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de R^2: S=(x, y, z) in R^3 ; x=y=z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente ver se o conjunto é um subespaço de . Primeiro, vamos entender o que é um subespaço e o que precisamos para verificar isso.

Passo 2

Um subespaço de é um conjunto que satisfaz três condições principais:
  1. Contém o vetor zero: ou seja, o vetor está no conjunto.
  2. Fechado sob adição: se você pegar dois vetores do conjunto e somar, o resultado também está no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação escalar: se você multiplicar um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado ainda está no conjunto.

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto . Esse conjunto consiste em todos os vetores onde as três componentes são iguais. Por exemplo, , , etc.

Passo 4

Primeiro, vamos verificar se contém o vetor zero. O vetor zero em é . Como , ele está no conjunto . Então, a primeira condição é satisfeita.

Passo 5

Agora, vamos ver se u = (a, a, a) e v = (b, b, b) é fechado sob adição. Suponha que temos dois vetores em u + v = (a + b, a + b, a + b) :
A soma desses vetores é:
Note que cada componente da soma ainda é igual, ou seja, . Portanto, também está em .

Passo 6

Por fim, vamos verificar a multiplicação escalar. Pegue um vetor qualquer em u = (a, a, a) :
c cdot u = (c cdot a, c cdot a, c cdot a)
Multiplicando por um escalar , temos:
Novamente, todas as componentes permanecem iguais, então também está em .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço de .

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