Determine o simétrico do ponto P em relação à reta r, nos casos: P=(0,0),cx=3+t y=2 t . R.: (245,-125)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o ponto simétrico de em relação à reta . Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica, mais especificamente trabalhando com simetria de pontos em relação a retas. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a reflexão de um ponto em relação a uma reta usando fórmulas matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da reta x = 3 + t y = 2t . Ela está dada de forma paramétrica:
t = x - 3
Aqui, y = 2t = 2(x - 3) = 2x - 6 é o parâmetro. Mas para facilitar nossos cálculos, é melhor transformar essa representação paramétrica em forma geral ou reduzida da equação da reta. Vamos eliminar o parâmetro y = 2x - 6 :
De , podemos isolar :
Agora, substituímos esse valor de na equação de :
Então, a equação da reta é:

Passo 3

Agora, para encontrar o ponto simétrico de x' = x - 2a(ax + by + c)a^2 + b^2 em relação à reta y' = y - 2b(ax + by + c)a^2 + b^2 , vamos usar a fórmula da reflexão de um ponto em relação a uma reta. A fórmula para encontrar o ponto simétrico 2x - y - 6 = 0 de um ponto a = 2, b = -1, c = -6 em relação a uma reta x' = 0 - 2 times 2 (2 times 0 + (-1) times 0 - 6)2^2 + (-1)^2 = 0 - 4 times (-6)4 + 1 = 0 + 245 = 245 é:
y' = 0 - 2 times (-1) (2 times 0 + (-1) times 0 - 6)2^2 + (-1)^2 = 0 - -2 times (-6)5 = 0 - 125 = -125
Primeiro, precisamos escrever a equação da reta na forma geral . Nossa equação atual é . Vamos rearranjá-la:
Então, podemos identificar os coeficientes:
Agora, substituímos , e os valores de , , na fórmula:

Resposta

O ponto simétrico de em relação à reta é .

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