No espaço vetorial , consideremos os vetores:
a) Calcular ;
b) Calcular tal que
c) Existem de maneira que ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte a) desse exercício! O enunciado pede para calcular a expressão . Estamos lidando com matrizes no espaço vetorial , que significa matrizes de 3 linhas por 2 colunas com números reais. Para resolver isso, vamos somar e subtrair as matrizes A, B e C conforme indicado, lembrando que as operações são feitas elemento a elemento.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Isso significa multiplicar cada elemento da matriz A por 2:

Passo 3

Agora, temos a matriz B que permanece a mesma:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular , ou seja, multiplicar cada elemento da matriz C por 3:

Passo 5

Agora, somamos e B:

Passo 6

Agora, subtraímos do resultado anterior:

Passo 7

Vamos para a parte b)! Aqui, precisamos encontrar uma matriz que satisfaça a equação:
Primeiro, precisamos resolver essa equação para encontrar . Para isso, vamos manipular algébricamente a equação para isolar .

Passo 8

Vamos eliminar as frações multiplicando ambos os lados da equação por 6, que é o mínimo múltiplo comum de 2 e 3, para facilitar os cálculos:
Distribuindo o 6:

Passo 9

Agora, vamos expandir os termos:
Simplificando os termos com :

Passo 10

Isolando :
Então, para encontrar , basta calcular , e , e depois fazer as operações indicadas.

Passo 11

Vamos calcular cada termo separadamente:

Passo 12

Agora, substituímos na expressão de :
Realizando as subtrações elemento a elemento:

Passo 13

Agora, vamos para a parte c)! A pergunta é: existem números reais e tais que a matriz pode ser escrita como uma combinação linear de e , ou seja:
Para descobrir isso, precisamos verificar se essa combinação linear é possível resolvendo um sistema de equações que resulta dos elementos das matrizes.

Passo 14

Vamos escrever a equação elemento a elemento. Sabemos que:
Então, temos:
Isso resulta em um sistema de equações para cada posição da matriz.

Passo 15

Vamos escrever as equações:
çãçãçãçãçãçã
Vamos resolver esse sistema.

Passo 16

Vamos resolver uma equação de cada vez:
  1. Da posição (2,2):
  2. Com , da posição (1,1):
  3. Verificamos com a posição (1,2): , o que não é verdade.

Passo 17

Já encontramos uma contradição na terceira equação. Mesmo que tenhamos e das primeiras equações, a segunda equação não é satisfeita ( ). Isso significa que não existem valores reais de e que satisfazem todas as posições simultaneamente.

Resposta

Não, não existem valores reais e tais que .

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