No espaço vetorial M3 times 2(R), consideremos os vetores:
A=(ll 1 & 1 0 & 0 0 & 0 ), B=(ll 0 & 1 2 & 1 1 & 1 ), C=(cc 1 & 2 1 & 0 0 & -1 )
a) Calcular 2 A+B-3 C;
b) Calcular X in M3 times 2(R) tal que
A+X2-X-B3=C
c) Existem t1, t2 in R de maneira que A=t1 B+t2 C ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte a) desse exercício! O enunciado pede para calcular a expressão . Estamos lidando com matrizes no espaço vetorial , que significa matrizes de 3 linhas por 2 colunas com números reais. Para resolver isso, vamos somar e subtrair as matrizes A, B e C conforme indicado, lembrando que as operações são feitas elemento a elemento.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular 2A = 2 times 1 & 1 0 & 0 0 & 0 = 2 & 2 0 & 0 0 & 0 . Isso significa multiplicar cada elemento da matriz A por 2:

Passo 3

Agora, temos a matriz B que permanece a mesma:
B = 0 & 1 2 & 1 1 & 1

Passo 4

Em seguida, vamos calcular 3C = 3 times 1 & 2 1 & 0 0 & -1 = 3 & 6 3 & 0 0 & -3 , ou seja, multiplicar cada elemento da matriz C por 3:

Passo 5

Agora, somamos 2A + B = 2 & 2 0 & 0 0 & 0 + 0 & 1 2 & 1 1 & 1 = 2+0 & 2+1 0+2 & 0+1 0+1 & 0+1 = 2 & 3 2 & 1 1 & 1 e B:

Passo 6

Agora, subtraímos 2A + B - 3C = 2 & 3 2 & 1 1 & 1 - 3 & 6 3 & 0 0 & -3 = 2-3 & 3-6 2-3 & 1-0 1-0 & 1-(-3) = -1 & -3 -1 & 1 1 & 4 do resultado anterior:

Passo 7

Vamos para a parte b)! Aqui, precisamos encontrar uma matriz A + X2 - X - B3 = C que satisfaça a equação:
Primeiro, precisamos resolver essa equação para encontrar . Para isso, vamos manipular algébricamente a equação para isolar .

Passo 8

Vamos eliminar as frações multiplicando ambos os lados da equação por 6, que é o mínimo múltiplo comum de 2 e 3, para facilitar os cálculos:
6 ( A + X2 - X - B3 ) = 6C
Distribuindo o 6:
3(A + X) - 2(X - B) = 6C

Passo 9

Agora, vamos expandir os termos:
3A + 3X - 2X + 2B = 6C
Simplificando os termos com (3A + 2B) + X = 6C :

Passo 10

Isolando X = 6C - 3A - 2B :
Então, para encontrar , basta calcular , e , e depois fazer as operações indicadas.

Passo 11

Vamos calcular cada termo separadamente:
3A = 3 times 1 & 1 0 & 0 0 & 0 = 3 & 3 0 & 0 0 & 0
2B = 2 times 0 & 1 2 & 1 1 & 1 = 0 & 2 4 & 2 2 & 2
6C = 6 times 1 & 2 1 & 0 0 & -1 = 6 & 12 6 & 0 0 & -6

Passo 12

Agora, substituímos na expressão de X = 6 & 12 6 & 0 0 & -6 - 3 & 3 0 & 0 0 & 0 - 0 & 2 4 & 2 2 & 2 :
X = 6-3-0 & 12-3-2 6-0-4 & 0-0-2 0-0-2 & -6-0-2 = 3 & 7 2 & -2 -2 & -8
Realizando as subtrações elemento a elemento:

Passo 13

Agora, vamos para a parte c)! A pergunta é: existem números reais A = t1 B + t2 C e tais que a matriz pode ser escrita como uma combinação linear de e , ou seja:
Para descobrir isso, precisamos verificar se essa combinação linear é possível resolvendo um sistema de equações que resulta dos elementos das matrizes.

Passo 14

Vamos escrever a equação A = 1 & 1 0 & 0 0 & 0 , B = 0 & 1 2 & 1 1 & 1 , C = 1 & 2 1 & 0 0 & -1 elemento a elemento. Sabemos que:
1 & 1 0 & 0 0 & 0 = t1 0 & 1 2 & 1 1 & 1 + t2 1 & 2 1 & 0 0 & -1
Então, temos:
Isso resulta em um sistema de equações para cada posição da matriz.

Passo 15

Vamos escrever as equações:
1 = t1 cdot 0 + t2 cdot 1 &(posição 1,1) 1 = t1 cdot 1 + t2 cdot 2 &(posição 1,2) 0 = t1 cdot 2 + t2 cdot 1 &(posição 2,1) 0 = t1 cdot 1 + t2 cdot 0 &(posição 2,2) 0 = t1 cdot 1 + t2 cdot 0 &(posição 3,1) 0 = t1 cdot 1 + t2 cdot (-1) &(posição 3,2) çãçãçãçãçãçã
Vamos resolver esse sistema.

Passo 16

Vamos resolver uma equação de cada vez:
  1. Da posição (2,2):
  2. Com , da posição (1,1):
  3. Verificamos com a posição (1,2): , o que não é verdade.

Passo 17

Já encontramos uma contradição na terceira equação. Mesmo que tenhamos e das primeiras equações, a segunda equação não é satisfeita ( ). Isso significa que não existem valores reais de e que satisfazem todas as posições simultaneamente.

Resposta

Não, não existem valores reais e tais que .

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