Beleza, vamos resolver a parte a) desse exercício! O enunciado pede para calcular a expressão . Estamos lidando com matrizes no espaço vetorial , que significa matrizes de 3 linhas por 2 colunas com números reais. Para resolver isso, vamos somar e subtrair as matrizes A, B e C conforme indicado, lembrando que as operações são feitas elemento a elemento.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular . Isso significa multiplicar cada elemento da matriz A por 2:
Passo 3
Agora, temos a matriz B que permanece a mesma:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular , ou seja, multiplicar cada elemento da matriz C por 3:
Passo 5
Agora, somamos e B:
Passo 6
Agora, subtraímos do resultado anterior:
Passo 7
Vamos para a parte b)! Aqui, precisamos encontrar uma matriz que satisfaça a equação:
Primeiro, precisamos resolver essa equação para encontrar . Para isso, vamos manipular algébricamente a equação para isolar .
Passo 8
Vamos eliminar as frações multiplicando ambos os lados da equação por 6, que é o mínimo múltiplo comum de 2 e 3, para facilitar os cálculos:
Distribuindo o 6:
Passo 9
Agora, vamos expandir os termos:
Simplificando os termos com :
Passo 10
Isolando :
Então, para encontrar , basta calcular , e , e depois fazer as operações indicadas.
Passo 11
Vamos calcular cada termo separadamente:
Passo 12
Agora, substituímos na expressão de :
Realizando as subtrações elemento a elemento:
Passo 13
Agora, vamos para a parte c)! A pergunta é: existem números reais e tais que a matriz pode ser escrita como uma combinação linear de e , ou seja:
Para descobrir isso, precisamos verificar se essa combinação linear é possível resolvendo um sistema de equações que resulta dos elementos das matrizes.
Passo 14
Vamos escrever a equação elemento a elemento. Sabemos que:
Então, temos:
Isso resulta em um sistema de equações para cada posição da matriz.
Passo 15
Vamos escrever as equações:
çãçãçãçãçãçã
Vamos resolver esse sistema.
Passo 16
Vamos resolver uma equação de cada vez:
Da posição (2,2):
Com , da posição (1,1):
Verificamos com a posição (1,2): , o que não é verdade.
Passo 17
Já encontramos uma contradição na terceira equação. Mesmo que tenhamos e das primeiras equações, a segunda equação não é satisfeita (). Isso significa que não existem valores reais de e que satisfazem todas as posições simultaneamente.