(Produtos notáveis) Sejam as matrizes dadas
A=[rr 3 & -1 -2 & 0 ] B=[ll 0 & 1 3 & 2 ]
11.2 Comparar as duas matrizes (A+B)^2 e A^2+A B+B A+B^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes, e , e precisamos comparar com . Aqui, estamos lidando com operações de matrizes, especificamente a soma e multiplicação de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar saber como somar matrizes e como multiplicá-las.

Passo 2

Vamos começar calculando A = 3 & -1 -2 & 0 , B = 0 & 1 3 & 2 . Para somar duas matrizes, somamos os elementos correspondentes de cada matriz.
A + B = 3 + 0 & -1 + 1 -2 + 3 & 0 + 2 = 3 & 0 1 & 2

Passo 3

Agora, vamos calcular (A + B)^2 = (A + B) times (A + B) = 3 & 0 1 & 2 times 3 & 0 1 & 2 . Isso significa multiplicar 3 times 3 + 0 times 1 = 9 + 0 = 9 por ele mesmo.
3 times 0 + 0 times 2 = 0 + 0 = 0
Para multiplicar duas matrizes, multiplicamos as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz:
  • Primeiro elemento (1ª linha, 1ª coluna):
    1 times 3 + 2 times 1 = 3 + 2 = 5
  • Segundo elemento (1ª linha, 2ª coluna):
    1 times 0 + 2 times 2 = 0 + 4 = 4
  • Terceiro elemento (2ª linha, 1ª coluna):
    (A + B)^2 = 9 & 0 5 & 4
  • Quarto elemento (2ª linha, 2ª coluna):
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular A^2 = A times A = 3 & -1 -2 & 0 times 3 & -1 -2 & 0 separadamente.
Primeiro, calculamos cada termo:
Calculando 3 times 3 + (-1) times (-2) = 9 + 2 = 11:
3 times (-1) + (-1) times 0 = -3 + 0 = -3
Multiplicando:
  • Primeiro elemento:
    -2 times 3 + 0 times (-2) = -6 + 0 = -6
  • Segundo elemento:
    -2 times (-1) + 0 times 0 = 2 + 0 = 2
  • Terceiro elemento:
    A^2 = 11 & -3 -6 & 2
  • Quarto elemento:
    AB = A times B = 3 & -1 -2 & 0 times 0 & 1 3 & 2
Então,
3 times 0 + (-1) times 3 = 0 - 3 = -3
Calculando 3 times 1 + (-1) times 2 = 3 - 2 = 1:
-2 times 0 + 0 times 3 = 0 + 0 = 0
Multiplicando:
  • Primeiro elemento:
    -2 times 1 + 0 times 2 = -2 + 0 = -2
  • Segundo elemento:
    AB = -3 & 1 0 & -2
  • Terceiro elemento:
    BA = B times A = 0 & 1 3 & 2 times 3 & -1 -2 & 0
  • Quarto elemento:
    0 times 3 + 1 times (-2) = 0 - 2 = -2
Então,
0 times (-1) + 1 times 0 = 0 + 0 = 0
Calculando 3 times 3 + 2 times (-2) = 9 - 4 = 5:
3 times (-1) + 2 times 0 = -3 + 0 = -3
Multiplicando:
  • Primeiro elemento:
    BA = -2 & 0 5 & -3
  • Segundo elemento:
    B^2 = B times B = 0 & 1 3 & 2 times 0 & 1 3 & 2
  • Terceiro elemento:
    0 times 0 + 1 times 3 = 0 + 3 = 3
  • Quarto elemento:
    0 times 1 + 1 times 2 = 0 + 2 = 2
Então,
3 times 0 + 2 times 3 = 0 + 6 = 6
Calculando 3 times 1 + 2 times 2 = 3 + 4 = 7:
B^2 = 3 & 2 6 & 7
Multiplicando:
  • Primeiro elemento:
    A^2 + AB + BA + B^2 = 11 & -3 -6 & 2 + -3 & 1 0 & -2 + -2 & 0 5 & -3 + 3 & 2 6 & 7
  • Segundo elemento:
    11 + (-3) + (-2) + 3 = 9
  • Terceiro elemento:
    -3 + 1 + 0 + 2 = 0
  • Quarto elemento:
    -6 + 0 + 5 + 6 = 5
Então,
2 + (-2) + (-3) + 7 = 4
Agora, somamos todos esses resultados:
A^2 + AB + BA + B^2 = 9 & 0 5 & 4
Somando elemento por elemento:
  • Primeiro elemento:
  • Segundo elemento:
  • Terceiro elemento:
  • Quarto elemento:
Então,

Resposta

Após os cálculos, observamos que (A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 = 9 & 0 5 & 4 . Portanto, as duas matrizes são iguais:

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