Dentre os conjuntos seguintes, determine quais são subspaços de R^2: S=(0, y) ; y in R

Passo 1

Nesse exercício, vamos verificar se o conjunto é um subespaço do espaço vetorial . Para isso, precisamos lembrar dos critérios que definem um subespaço:
  1. Deve conter o vetor zero.
  2. Deve ser fechado sob adição de vetores.
  3. Deve ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Como pertence a , então está em . Isso satisfaz o primeiro critério.

Passo 3

Agora, vamos ver se (0, y1) + (0, y2) = (0 + 0, y1 + y2) = (0, y1 + y2) é fechado sob adição. Pegamos dois vetores quaisquer em , digamos e . A soma deles é:
Como também pertence a , o vetor resultante está em . Assim, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se c cdot (0, y) = (c cdot 0, c cdot y) = (0, c y) é fechado sob multiplicação por escalar. Tomamos um vetor qualquer em , , e um escalar . A multiplicação escalar é:
Como também pertence a , o vetor está em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto é um subespaço de .

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