Encontre a inversa da matriz dada aplicando operações sobre as linhas, se a matriz é invertível então confira sua resposta por multiplicação.
© [lll1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 1 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a inversa de uma matriz. Aqui estamos lidando com matrizes e operações de linha para descobrir se a matriz é invertível. Se for, a gente também vai verificar nossa resposta fazendo a multiplicação. Vamos precisar entender como montar a matriz aumentada e aplicar as operações corretas para chegar na inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada. Isso significa que vamos colocar a matriz original ao lado da matriz identidade. A matriz identidade é aquela que tem 1’s na diagonal principal e 0’s no restante. Então, temos:
[ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Agora, o objetivo é transformar a parte da esquerda da matriz aumentada na matriz identidade usando operações de linha (como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e somar múltiplos de uma linha a outra). Vamos começar eliminando o elemento abaixo do primeiro 1 na primeira coluna. Para isso, vamos subtrair a primeira linha da terceira linha:
R3 = R3 - R1
Isso resulta em:
[ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & -1 & 0 & 1 ]

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 1 que está abaixo do segundo 1 na segunda coluna. Para isso, vamos subtrair a segunda linha da terceira linha:
R3 = R3 - R2
Isso nos dá:
[ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -2 & -1 & -1 & 1 ]

Passo 5

Agora, vamos tornar o elemento (3,3) igual a 1 dividindo toda a terceira linha por -2:
R3 = R3-2
Ficamos com:
[ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 12 & 12 & -12 ]

Passo 6

Agora, vamos eliminar os 1’s acima do elemento (3,3). Primeiro, subtraímos a terceira linha da primeira linha:
R1 = R1 - R3
E depois subtraímos a terceira linha da segunda linha:
R2 = R2 - R3
Isso resulta em:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 12 & -12 & 12 0 & 1 & 0 & -12 & 12 & 12 0 & 0 & 1 & 12 & 12 & -12 ]

Resposta

A inversa da matriz é:
[ccc 12 & -12 & 12 -12 & 12 & 12 12 & 12 & -12 ]

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