Dê exemplo de uma função
contínua em todos os pontos, exceto nos pontos
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem que criar uma função
que seja contínua em todo lugar, exceto nos pontos
,
e
. Ou seja, queremos que a função não tenha “quebras”, “saltos” ou “buracos” em qualquer lugar da reta real, exceto exatamente nesses três pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se você consegue desenhá-la sem levantar o lápis do papel naquele ponto. Se houver algum ponto onde a função “pula”, “tem um buraco” ou “separa”, aí ela não é contínua nesse ponto.
Passo 3
A gente precisa construir uma função que seja continua em todo lugar, menos em
,
e
. Para isso, podemos usar funções que têm descontinuidades precisamente nesses pontos. Uma maneira simples é usar frações onde o denominador se anula exatamente nos pontos que queremos que sejam descontínuos.
Passo 4
Vamos definir a função da seguinte maneira:
Essa função parece complicada, mas na verdade, em todo lugar onde o denominador não é zero, ela se simplifica para:
Então, ela é constante e, obviamente, contínua em todo lugar onde está definida.
Passo 5
Agora, vamos ver onde a função não é definida. O denominador
é zero quando
,
ou
. Nessas três posições, a função não está definida, ou seja, aí tem “buraco” na função, tornando-a descontínua nesses pontos específicos.
Resposta
Um exemplo de função que atende às condições é:
ou simplificando,
para todo
.
Exercícios relacionados
Simplifique
nos casos abaixo
, onde
.
Dentre os paralelepípedos retangulares de mesmo volume, determinar o que tem menor área superficial.
Use a aproximação linear para estimar o valor de
a partir da função
no ponto
. Compare o valor estimado com o valor real.