Dê exemplo de uma função contínua em todos os pontos, exceto nos pontos .

Passo 1

Beleza, então a gente tem que criar uma função que seja contínua em todo lugar, exceto nos pontos , e . Ou seja, queremos que a função não tenha “quebras”, “saltos” ou “buracos” em qualquer lugar da reta real, exceto exatamente nesses três pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se você consegue desenhá-la sem levantar o lápis do papel naquele ponto. Se houver algum ponto onde a função “pula”, “tem um buraco” ou “separa”, aí ela não é contínua nesse ponto.

Passo 3

A gente precisa construir uma função que seja continua em todo lugar, menos em , e . Para isso, podemos usar funções que têm descontinuidades precisamente nesses pontos. Uma maneira simples é usar frações onde o denominador se anula exatamente nos pontos que queremos que sejam descontínuos.

Passo 4

Vamos definir a função da seguinte maneira:
Essa função parece complicada, mas na verdade, em todo lugar onde o denominador não é zero, ela se simplifica para:
Então, ela é constante e, obviamente, contínua em todo lugar onde está definida.

Passo 5

Agora, vamos ver onde a função não é definida. O denominador é zero quando , ou . Nessas três posições, a função não está definida, ou seja, aí tem “buraco” na função, tornando-a descontínua nesses pontos específicos.

Resposta

Um exemplo de função que atende às condições é:
ou simplificando,
para todo .

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pontos) .
Simplifique nos casos abaixo
, onde .
Dentre os paralelepípedos retangulares de mesmo volume, determinar o que tem menor área superficial.
Use a aproximação linear para estimar o valor de a partir da função no ponto . Compare o valor estimado com o valor real.