Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:
k)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que pega uma matriz e transforma em um vetor em . Nosso objetivo é descobrir se essa função é linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como verificar se uma função a satisfaz.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se ela respeita duas coisas:
  1. Adição: para quaisquer vetores e .
  2. Multiplicação por escalar: para qualquer número real e vetor .

Passo 3

Vamos verificar a adição. Suponha que temos duas matrizes:
A soma dessas matrizes é:
Aplicando nessa soma:
Agora, aplicando individualmente e somando:
Vemos que . Então, a função respeita a adição.

Passo 4

Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja um número real e uma matriz .
Multiplicando por :
Aplicando em :
Por outro lado, multiplicando por :
Claramente, . Então, a função respeita a multiplicação por escalar.

Resposta

Como a função respeita tanto a adição quanto a multiplicação por escalar, ela é uma transformação linear.

Exercícios relacionados

Determine a reta , onde:
a. .
Determine equações paramétricas para o plano , onde:
b. .
Julgue verdadeiro ou falso os itens a seguir. Justifique!
a) O conjunto é um subespaço vetorial de .
Mostre que é uma base para o espaço vetorial .