Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:
k)
k)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que pega uma matriz
e transforma em um vetor em
. Nosso objetivo é descobrir se essa função é linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como verificar se uma função a satisfaz.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se ela respeita duas coisas:
- Adição:
para quaisquer vetores e . - Multiplicação por escalar:
para qualquer número real e vetor .
Passo 3
Vamos verificar a adição. Suponha que temos duas matrizes:
A soma dessas matrizes é:
Aplicando
nessa soma:
Agora, aplicando
individualmente e somando:
Vemos que
. Então, a função respeita a adição.
Passo 4
Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja
um número real e uma matriz
.
Multiplicando por
:
Multiplicando
Aplicando
em
:
Por outro lado, multiplicando
por
:
Claramente,
. Então, a função respeita a multiplicação por escalar.
Resposta
Como a função
respeita tanto a adição quanto a multiplicação por escalar, ela é uma transformação linear.
Exercícios relacionados
Determine a reta
, onde:
a. .
a.
Determine equações paramétricas para o plano
, onde:
b. .
b.
Julgue verdadeiro ou falso os itens a seguir. Justifique!
a) O conjunto é um subespaço vetorial de
.
a) O conjunto
Mostre que
é uma base para o espaço vetorial
.