Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:
k) T: M(2,2) I R^2, T(lla & b c & d)=(a-c, b+c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que pega uma matriz e transforma em um vetor em . Nosso objetivo é descobrir se essa função é linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como verificar se uma função a satisfaz.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se ela respeita duas coisas:
  1. Adição: para quaisquer vetores e .
  2. Multiplicação por escalar: para qualquer número real e vetor .

Passo 3

Vamos verificar a adição. Suponha que temos duas matrizes:
A = a & b c & d , B = e & f g & h
A soma dessas matrizes é:
A + B = a+e & b+f c+g & d+h
Aplicando T(A + B) = ( (a+e) - (c+g), (b+f) + (c+g) ) = (a - c + e - g, b + c + f + g) nessa soma:
T(A) = (a - c, b + c) T(B) = (e - g, f + g) T(A) + T(B) = (a - c + e - g, b + c + f + g)
Agora, aplicando individualmente e somando:
Vemos que . Então, a função respeita a adição.

Passo 4

Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja a & b c & d um número real e uma matriz kA = ka & kb kc & kd .
Multiplicando T(kA) = (ka - kc, kb + kc) = k(a - c, b + c) por kT(A) = k(a - c, b + c) = (k(a - c), k(b + c)) :
Aplicando em :
Por outro lado, multiplicando por :
Claramente, . Então, a função respeita a multiplicação por escalar.

Resposta

Como a função respeita tanto a adição quanto a multiplicação por escalar, ela é uma transformação linear.

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