Determine equações paramétricas para o plano Pi, onde:
b. Pi: x+y-z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar equações paramétricas para o plano dado pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente como representar um plano no espaço usando parâmetros. Vamos precisar achar um ponto que esteja nesse plano e dois vetores que também estejam no plano para montar as equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um ponto que está no plano . Uma maneira fácil é escolher valores para duas das variáveis e resolver para a terceira. Por exemplo, se deixarmos e , então a equação fica , o que implica que . Então, temos o ponto no plano.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dois vetores que estão no plano. Esses vetores vão nos ajudar a descrever todas as posições possíveis dentro do plano a partir do ponto . Para isso, vamos escolher dois vetores quaisquer que satisfaçam a equação do plano.

Passo 4

Vamos escolher um vetor colocando e . Substituindo na equação do plano: , então . Assim, temos o vetor .

Passo 5

Agora, vamos escolher um segundo vetor colocando e . Substituindo na equação do plano: , então . Assim, temos o vetor .

Passo 6

Com o ponto x = x0 + a cdot u + b cdot v y = y0 + c cdot u + d cdot v z = z0 + e cdot u + f cdot v e os vetores e , podemos escrever as equações paramétricas do plano. As equações paramétricas de um plano são dadas por:
onde é o ponto no plano e , são os vetores no plano.

Passo 7

Substituindo os valores que encontramos:
x = 0 + 1 cdot t + 0 cdot s = t y = 0 + 0 cdot t + 1 cdot s = s z = 0 + 1 cdot t + 1 cdot s = t + s
Onde e são parâmetros livres que podem assumir qualquer valor real.

Resposta

As equações paramétricas do plano x = t y = s z = t + s são:
Onde e são números reais.

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