Determine equações paramétricas para o plano , onde:
b. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar equações paramétricas para o plano dado pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente como representar um plano no espaço usando parâmetros. Vamos precisar achar um ponto que esteja nesse plano e dois vetores que também estejam no plano para montar as equações paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar um ponto que está no plano . Uma maneira fácil é escolher valores para duas das variáveis e resolver para a terceira. Por exemplo, se deixarmos e , então a equação fica , o que implica que . Então, temos o ponto no plano.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar dois vetores que estão no plano. Esses vetores vão nos ajudar a descrever todas as posições possíveis dentro do plano a partir do ponto . Para isso, vamos escolher dois vetores quaisquer que satisfaçam a equação do plano.
Passo 4
Vamos escolher um vetor colocando e . Substituindo na equação do plano: , então . Assim, temos o vetor .
Passo 5
Agora, vamos escolher um segundo vetor colocando e . Substituindo na equação do plano: , então . Assim, temos o vetor .
Passo 6
Com o ponto e os vetores e , podemos escrever as equações paramétricas do plano. As equações paramétricas de um plano são dadas por:
onde é o ponto no plano e , são os vetores no plano.
Passo 7
Substituindo os valores que encontramos:
Onde e são parâmetros livres que podem assumir qualquer valor real.