Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos três funções diferentes
e precisamos descobrir quais delas são lineares. Isso envolve entender o que significa uma função ser linear e como verificar isso para cada caso. Para resolver, vamos precisar conhecer as propriedades das transformações lineares e aplicar essas propriedades a cada uma das funções apresentadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função linear. Uma transformação
é linear se satisfaz duas propriedades principais:
- Adição:
para quaisquer vetores e em . - Homogeneidade:
para qualquer escalar e vetor em .
Se uma função
cumprir essas duas propriedades, então ela é linear. Agora vamos analisar cada uma das funções do exercício para ver se elas são lineares.
Passo 3
Parte a)
Vamos verificar as duas propriedades:
-
Adição:Então, a propriedade da adição é satisfeita.
-
Homogeneidade:A propriedade da homogeneidade também é satisfeita.
Portanto, a função da parte a) é linear.
Passo 4
Parte b)
Vamos verificar as duas propriedades:
-
Adição:A propriedade da adição é satisfeita.
-
Homogeneidade:A propriedade da homogeneidade também é satisfeita.
Portanto, a função da parte b) é linear.
Passo 5
Parte c)
Vamos verificar as duas propriedades:
-
Adição:Observamos que
a menos que , o seja, apenas em casos específicos. Portanto, a propriedade da adição não é satisfeita de forma geral. -
Homogeneidade:
Mesmo que a adiç��o já falhe, podemos verificar a homogeneidade:Portanto, a propriedade da homogeneidade também não é satisfeita de forma geral.
Como a função da parte c) não satisfaz as duas propriedades necessárias, ela não é linear.
Resposta
As funções a) e b) são lineares, enquanto a função c) não é linear.
Exercícios relacionados
Nos ítens abaixo, o vetor
está escrito na base
. Reescreva-o na base V
(e) .
(e)
Dentre as transformações
definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Mostre que se
é um inteiro positivo que não é primo, então
não é um domínio.
Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
(a)
(a)