Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:
a)
b)
c)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos três funções diferentes e precisamos descobrir quais delas são lineares. Isso envolve entender o que significa uma função ser linear e como verificar isso para cada caso. Para resolver, vamos precisar conhecer as propriedades das transformações lineares e aplicar essas propriedades a cada uma das funções apresentadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função linear. Uma transformação é linear se satisfaz duas propriedades principais:
  1. Adição: para quaisquer vetores e em .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor em .
Se uma função cumprir essas duas propriedades, então ela é linear. Agora vamos analisar cada uma das funções do exercício para ver se elas são lineares.

Passo 3

Parte a)
Vamos verificar as duas propriedades:
  1. Adição:
    Então, a propriedade da adição é satisfeita.
  2. Homogeneidade:
    A propriedade da homogeneidade também é satisfeita.
Portanto, a função da parte a) é linear.

Passo 4

Parte b)
Vamos verificar as duas propriedades:
  1. Adição:
    A propriedade da adição é satisfeita.
  2. Homogeneidade:
    A propriedade da homogeneidade também é satisfeita.
Portanto, a função da parte b) é linear.

Passo 5

Parte c)
Vamos verificar as duas propriedades:
  1. Adição:
    Observamos que a menos que , o seja, apenas em casos específicos. Portanto, a propriedade da adição não é satisfeita de forma geral.
  2. Homogeneidade:
    Mesmo que a adiç��o já falhe, podemos verificar a homogeneidade:
    Portanto, a propriedade da homogeneidade também não é satisfeita de forma geral.
Como a função da parte c) não satisfaz as duas propriedades necessárias, ela não é linear.

Resposta

As funções a) e b) são lineares, enquanto a função c) não é linear.

Exercícios relacionados

Nos ítens abaixo, o vetor está escrito na base . Reescreva-o na base V
(e) .
Dentre as transformações definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Mostre que se é um inteiro positivo que não é primo, então não é um domínio.
Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
(a)