Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:
a) T: R^2 longrightarrow I R^3 ; T(x, y)=(x-y, 3 x,-2 y)
b) T: R^3 longrightarrow R^3 ; T(x, y, z)=(x+y, x-y, 0)
c) T: R^2 longrightarrow R^2, T(x, y)=(x^2+y^2, x)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos três funções diferentes e precisamos descobrir quais delas são lineares. Isso envolve entender o que significa uma função ser linear e como verificar isso para cada caso. Para resolver, vamos precisar conhecer as propriedades das transformações lineares e aplicar essas propriedades a cada uma das funções apresentadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função linear. Uma transformação é linear se satisfaz duas propriedades principais:
  1. Adição: para quaisquer vetores e em .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor em .
Se uma função cumprir essas duas propriedades, então ela é linear. Agora vamos analisar cada uma das funções do exercício para ver se elas são lineares.

Passo 3

Parte a) T((x1, y1) + (x2, y2)) = T(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2) - (y1 + y2), 3(x1 + x2), -2(y1 + y2))
Vamos verificar as duas propriedades:
  1. Adição:
    = (x1 - y1 + x2 - y2, 3x1 + 3x2, -2y1 - 2y2)
    = (x1 - y1, 3x1, -2y1) + (x2 - y2, 3x2, -2y2) = T(x1, y1) + T(x2, y2)
    T(c(x, y)) = T(cx, cy) = (cx - cy, 3(cx), -2(cy)) = (c(x - y), 3c x, -2c y)
    Então, a propriedade da adição é satisfeita.
  2. Homogeneidade:
    = c(x - y, 3x, -2y) = cT(x, y)
    A propriedade da homogeneidade também é satisfeita.
Portanto, a função da parte a) é linear.

Passo 4

Parte b) T((x1, y1, z1) + (x2, y2, z2)) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ((x1 + x2) + (y1 + y2), (x1 + x2) - (y1 + y2), 0)
Vamos verificar as duas propriedades:
  1. Adição:
    = (x1 + y1 + x2 + y2, x1 - y1 + x2 - y2, 0) = (x1 + y1, x1 - y1, 0) + (x2 + y2, x2 - y2, 0) = T(x1, y1, z1) + T(x2, y2, z2)
    T(c(x, y, z)) = T(cx, cy, cz) = (cx + cy, cx - cy, 0) = c(x + y, x - y, 0) = cT(x, y, z)
    A propriedade da adição é satisfeita.
  2. Homogeneidade:
    A propriedade da homogeneidade também é satisfeita.
Portanto, a função da parte b) é linear.

Passo 5

Parte c) T((x1, y1) + (x2, y2)) = T(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2)^2 + (y1 + y2)^2, x1 + x2)
Vamos verificar as duas propriedades:
  1. Adição:
    T(x1, y1) + T(x2, y2) = (x1^2 + y1^2, x1) + (x2^2 + y2^2, x2) = (x1^2 + y1^2 + x2^2 + y2^2, x1 + x2)
    T(c(x, y)) = T(cx, cy) = ((cx)^2 + (cy)^2, cx) = (c^2x^2 + c^2y^2, cx) = c^2(x^2 + y^2, x)
    Observamos que = c^2T(x, y) neq cT(x, y) a menos que c = 0 ou 1 a menos que , o seja, apenas em casos específicos. Portanto, a propriedade da adição não é satisfeita de forma geral.
  2. Homogeneidade:
    Mesmo que a adiç��o já falhe, podemos verificar a homogeneidade:
    Portanto, a propriedade da homogeneidade também não é satisfeita de forma geral.
Como a função da parte c) não satisfaz as duas propriedades necessárias, ela não é linear.

Resposta

As funções a) e b) são lineares, enquanto a função c) não é linear.

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