Dentre as transformações
definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre transformações lineares em álgebra linear. A pergunta pede para verificar quais das transformações dadas são lineares. Para isso, vamos lembrar que uma transformação
é linear se ela satisfaz duas propriedades:
- Adição:
- Homogeneidade:
Vamos analisar cada transformação de a) a f) para ver se elas cumprem essas propriedades.
Passo 2
a)
Vamos verificar se essa transformação é linear.
-
Adição:
Isso é igual a:
-
Homogeneidade:
Como as duas propriedades são satisfeitas, a) é uma transformação linear.
Passo 3
b)
Vamos verificar as propriedades:
-
Adição:
-
Homogeneidade:
Ambas as propriedades são satisfeitas, então b) é uma transformação linear.
Passo 4
c)
Vamos verificar as propriedades:
-
Adição:
Isso não é igual aa menos que termos de cruz existam, o que não acontece aqui. -
Homogeneidade:
Isso não é igual a, a menos que ou .
Como as propriedades não são satisfeitas, c) não é uma transformação linear.
Passo 5
d)
Vamos verificar as propriedades:
-
Adição:
EnquantoOs resultados são diferentes. -
Homogeneidade:
EnquantoNovamente, os resultados não coincidem.
Portanto, d) não é uma transformação linear.
Passo 6
e)
Vamos verificar as propriedades:
-
Adição:
Isso é igual a -
Homogeneidade:
Como ambas as propriedades são satisfeitas, e) é uma transformação linear.
Passo 7
f)
Vamos verificar as propriedades:
-
Adição:
Isso nem sempre é igual a, por exemplo, se e tiverem sinais diferentes. -
Homogeneidade:
Isso é igual aapenas se . Para , não é igual.
Como as propriedades nem sempre são satisfeitas, f) não é uma transformação linear.
Resposta
As transformações lineares são:
- a)
- b)
- e)
As transformações c), d) e f) não são lineares.
Exercícios relacionados
Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique.
Todo conjunto LI de vetores é uma base de seu sub espaço gerado.
Todo conjunto LI de vetores é uma base de seu sub espaço gerado.
Mostre detalhadamente que se
for um anel de integridade c
for tal que
, então
ou
.
Nos ítens abaixo, o vetor
está escrito na base
. Reescreva-o na base V
(e) .
(e)
Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:
a)
b)
c)
a)
b)
c)