Dentre as transformações T: R^2 longrightarrow R^2 definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares:
a) T(x, y)=(x-3 y, 2 x+5 y)
b) T(x, y)=(y, x)
c) T(x, y)=(x^2, y^2)
d) T(x, y)=(x+1, y)
e) T(x, y)=(y-x, 0)
f) T(x, y)=(|x|, 2 y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre transformações lineares em álgebra linear. A pergunta pede para verificar quais das transformações dadas são lineares. Para isso, vamos lembrar que uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Adição:
  2. Homogeneidade:
Vamos analisar cada transformação de a) a f) para ver se elas cumprem essas propriedades.

Passo 2

a)
Vamos verificar se essa transformação é linear.
  1. Adição:
    Isso é igual a:
  2. Homogeneidade:
Como as duas propriedades são satisfeitas, a) é uma transformação linear.

Passo 3

b)
Vamos verificar as propriedades:
  1. Adição:
  2. Homogeneidade:
Ambas as propriedades são satisfeitas, então b) é uma transformação linear.

Passo 4

c)
Vamos verificar as propriedades:
  1. Adição:
    Isso não é igual a a menos que termos de cruz existam, o que não acontece aqui.
  2. Homogeneidade:
    Isso não é igual a , a menos que ou .
Como as propriedades não são satisfeitas, c) não é uma transformação linear.

Passo 5

d)
Vamos verificar as propriedades:
  1. Adição:
    Enquanto
    Os resultados são diferentes.
  2. Homogeneidade:
    Enquanto
    Novamente, os resultados não coincidem.
Portanto, d) não é uma transformação linear.

Passo 6

e)
Vamos verificar as propriedades:
  1. Adição:
    Isso é igual a
  2. Homogeneidade:
Como ambas as propriedades são satisfeitas, e) é uma transformação linear.

Passo 7

f)
Vamos verificar as propriedades:
  1. Adição:
    Isso nem sempre é igual a , por exemplo, se e tiverem sinais diferentes.
  2. Homogeneidade:
    Isso é igual a apenas se . Para , não é igual.
Como as propriedades nem sempre são satisfeitas, f) não é uma transformação linear.

Resposta

As transformações lineares são:
  • a)
  • b)
  • e)
As transformações c), d) e f) não são lineares.

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