Mostre que se é um inteiro positivo que não é primo, então não é um domínio.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que você pediu. A questão é mostrar que se é um número inteiro positivo que não é primo, então o conjunto (os inteiros módulo ) não é um domínio. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra, como o que é um domínio e como funcionam os inteiros módulo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um domínio de integridade. Um domínio de integridade é um tipo de anel (uma estrutura algébrica) que é comutativo e não possui divisores de zero. Isso significa que, em um domínio de integridade, se o produto de dois elementos é zero, então pelo menos um desses elementos deve ser zero.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre . Este é o conjunto dos inteiros de 0 a com a operação de adição e multiplicação definidas módulo . Ou seja, somamos e multiplicamos os números como de costume, mas sempre consideramos o resto da divisão por .

Passo 4

Para que seja um domínio de integridade, ele não pode ter divisores de zero. No entanto, se não for primo, isso significa que pode ser escrito como o produto de dois números inteiros menores que . Vamos chamar esses números de e , onde e .

Passo 5

Consideremos os elementos e em . Quando multiplicamos por em , temos:
Isso ocorre porque , e dividido por dá resto zero.

Passo 6

Agora, observamos que e são diferentes de zero em (já que ambos são menores que e maiores que zero). No entanto, o produto deles é zero. Isso significa que possui divisores de zero.

Passo 7

Como tem divisores de zero quando não é primo, isso implica que não pode ser um domínio de integridade.

Resposta

Portanto, mostramos que se é um inteiro positivo que não é primo, então não é um domínio de integridade.

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Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:
a)
b)
c)
Nos ítens abaixo, o vetor está escrito na base . Reescreva-o na base V
(e) .
Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
(a)
Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de :
e