Mostre que se
é um inteiro positivo que não é primo, então
não é um domínio.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que você pediu. A questão é mostrar que se
é um número inteiro positivo que não é primo, então o conjunto
(os inteiros módulo
) não é um domínio. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra, como o que é um domínio e como funcionam os inteiros módulo
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um domínio de integridade. Um domínio de integridade é um tipo de anel (uma estrutura algébrica) que é comutativo e não possui divisores de zero. Isso significa que, em um domínio de integridade, se o produto de dois elementos é zero, então pelo menos um desses elementos deve ser zero.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre
. Este é o conjunto dos inteiros de 0 a
com a operação de adição e multiplicação definidas módulo
. Ou seja, somamos e multiplicamos os números como de costume, mas sempre consideramos o resto da divisão por
.
Passo 4
Para que
seja um domínio de integridade, ele não pode ter divisores de zero. No entanto, se
não for primo, isso significa que
pode ser escrito como o produto de dois números inteiros menores que
. Vamos chamar esses números de
e
, onde
e
.
Passo 5
Consideremos os elementos
e
em
. Quando multiplicamos
por
em
, temos:
Isso ocorre porque
, e
dividido por
dá resto zero.
Passo 6
Agora, observamos que
e
são diferentes de zero em
(já que ambos são menores que
e maiores que zero). No entanto, o produto deles é zero. Isso significa que
possui divisores de zero.
Passo 7
Como
tem divisores de zero quando
não é primo, isso implica que
não pode ser um domínio de integridade.
Resposta
Portanto, mostramos que se
é um inteiro positivo que não é primo, então
não é um domínio de integridade.
Exercícios relacionados
Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Nos ítens abaixo, o vetor
está escrito na base
. Reescreva-o na base V
(e) .
(e)
Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
(a)
(a)
Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de
:
e