Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares. A questão pede para a gente encontrar o núcleo e a imagem da transformação linear definida por . A gente vai precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre como encontrar o núcleo (o conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero) e a imagem (o conjunto de todos os vetores que podem ser alcançados pela transformação).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de . O núcleo é o conjunto de todos os vetores que satisfazem . Ou seja:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da equação (3), já sabemos que . Substituindo na equação (4), temos:
Agora que sabemos que , substituímos na equação (1):
Portanto, o único vetor que satisfaz todas as equaç��es é .

Passo 4

Agora, vamos determinar a imagem de . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como . Para encontrar isso, podemos olhar as colunas da matriz associada à transformação . A matriz de é:
Queremos identificar quais vetores estão no espaço gerado por essas colunas.

Passo 5

Observando as colunas da matriz :
  • A primeira coluna é
  • A segunda coluna é
  • A terceira coluna é
Podemos notar que todas essas colunas são linearmente independentes, o que significa que a imagem de é o espaço gerado por essas três colunas. Como estamos trabalhando em , a imagem de é um subespaço de dimensão 3 em .

Resposta

O núcleo de é apenas o vetor nulo e a imagem de é o subespaço de gerado pelas colunas de , ou seja:
ú

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a)
b)
c)
Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de :
e
a) Determine .