Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
(a) A(x, y, z)=(x+y, 2 x-y, z, x+z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares. A questão pede para a gente encontrar o núcleo e a imagem da transformação linear definida por . A gente vai precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre como encontrar o núcleo (o conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero) e a imagem (o conjunto de todos os vetores que podem ser alcançados pela transformação).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o núcleo de A(x, y, z) = (x + y, 2x - y, z, x + z) = (0, 0, 0, 0) . O núcleo é o conjunto de todos os vetores que satisfazem . Ou seja:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da equação (3), já sabemos que x + 0 = 0 implies x = 0 . Substituindo 0 + y = 0 implies y = 0 na equação (4), temos:
Agora que sabemos que , substituímos na equação (1):
Portanto, o único vetor que satisfaz todas as equaç��es é .

Passo 4

Agora, vamos determinar a imagem de A = 1 & 1 & 0 2 & -1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 1 . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como . Para encontrar isso, podemos olhar as colunas da matriz associada à transformação . A matriz de é:
Queremos identificar quais vetores estão no espaço gerado por essas colunas.

Passo 5

Observando as colunas da matriz 1 2 0 1 :
  • A primeira coluna é 1 -1 0 0
  • A segunda coluna é 0 0 1 1
  • A terceira coluna é
Podemos notar que todas essas colunas são linearmente independentes, o que significa que a imagem de é o espaço gerado por essas três colunas. Como estamos trabalhando em , a imagem de é um subespaço de dimensão 3 em .

Resposta

O núcleo de Núc<=o(A) = (0, 0, 0) é apenas o vetor nulo Ima>=m(A) = span 1201, 1-100, 0011 e a imagem de é o subespaço de gerado pelas colunas de , ou seja:
ú

Exercícios relacionados