Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformaçōes lineares abaixo:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares. A questão pede para a gente encontrar o núcleo e a imagem da transformação linear definida por . A gente vai precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre como encontrar o núcleo (o conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero) e a imagem (o conjunto de todos os vetores que podem ser alcançados pela transformação).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o núcleo de . O núcleo é o conjunto de todos os vetores que satisfazem . Ou seja:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da equação (3), já sabemos que . Substituindo na equação (4), temos:
Agora que sabemos que , substituímos na equação (1):
Portanto, o único vetor que satisfaz todas as equaç��es é .
Passo 4
Agora, vamos determinar a imagem de . A imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como . Para encontrar isso, podemos olhar as colunas da matriz associada à transformação . A matriz de é:
Queremos identificar quais vetores estão no espaço gerado por essas colunas.
Passo 5
Observando as colunas da matriz :
A primeira coluna é
A segunda coluna é
A terceira coluna é
Podemos notar que todas essas colunas são linearmente independentes, o que significa que a imagem de é o espaço gerado por essas três colunas. Como estamos trabalhando em , a imagem de é um subespaço de dimensão 3 em .
Resposta
O núcleo de é apenas o vetor nulo e a imagem de é o subespaço de gerado pelas colunas de , ou seja: