Nos ítens abaixo, o vetor w está escrito na base U. Reescreva-o na base V
(e) w=(2,1,2)U U=(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0), V=(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um vetor que está representado na base . Precisamos reescrevê-lo na base . A matéria que vamos utilizar aqui é a mudança de base, que envolve transformar as coordenadas de um vetor de uma base para outra. Para resolver isso, vamos precisar das coordenadas de em , das bases e , e entender como passar de uma base para outra.

Passo 2

Vamos começar entendendo o que significa o vetor w = 2 cdot u1 + 1 cdot u2 + 2 cdot u3 . Isso quer dizer que pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base :
onde , e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as coordenadas de w = a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 na base . Para isso, devemos expressar como uma combinação linear dos vetores da base :
onde são as coordenadas que queremos encontrar na base .

Passo 4

Substituindo os vetores, temos:
w = a cdot (1,1,1) + b cdot (0,1,1) + c cdot (0,0,1)
(2,1,2) = (a, a + b, a + b + c)
Agora, igualando as componentes correspondentes, obtém-se um sistema de equações:
a = 2 a + b = 1 a + b + c = 2

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação, temos .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Substituindo e na terceira equação: .

Resposta

Portanto, as coordenadas de na base são .

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