Determine uma equação e esboce o gráfico da elipse que satisfaz as condições dadas.
(e) vértices A1=(0,-6), A2=(0,6), passa por P=(3,2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Precisamos encontrar a equação de uma elipse com vértices em e , que passa pelo ponto . Vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre as equações de elipses, e seguir passo a passo para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral da equação de uma elipse. Se a elipse tem seu eixo maior na vertical (como é o caso aqui, já que os vértices estão alinhados no eixo y), a equação padrão é:
x^2b^2 + y^2a^2 = 1
Aqui, é o semi-eixo maior (a metade do comprimento do eixo maior) e é o semi-eixo menor.

Passo 3

Os vértices a = 122 = 6 e estão em e , respectivamente. Isso significa que o comprimento total do eixo maior é 12 (de -6 a 6 no eixo y), então o semi-eixo maior é:

Passo 4

Com x^2b^2 + y^236 = 1 , já podemos atualizar a equação da elipse:
Agora, precisamos encontrar o valor de , o semi-eixo menor.

Passo 5

Sabemos que a elipse passa pelo ponto 3^2b^2 + 2^236 = 1 . Vamos substituir essas coordenadas na equação para encontrar 9b^2 + 436 = 1 :
9b^2 + 19 = 1
Simplificando:

Passo 6

Vamos isolar 9b^2 = 1 - 19 :
9b^2 = 89
b^2 = 818
Agora, invertendo os dois lados para resolver para :

Passo 7

Agora que temos x^2818 + y^236 = 1 , podemos escrever a equação completa da elipse:
8x^281 + y^236 = 1
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador:

Resposta

A equação da elipse é:
8x^281 + y^236 = 1
E o gráfico dela é uma elipse com eixo maior vertical, centrada na origem, com vértices em e , e passando pelo ponto .

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