Determine uma equação e esboce o gráfico da elipse que satisfaz as condições dadas.
(e) vértices , passa por ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Precisamos encontrar a equação de uma elipse com vértices em e , que passa pelo ponto . Vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre as equações de elipses, e seguir passo a passo para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral da equação de uma elipse. Se a elipse tem seu eixo maior na vertical (como é o caso aqui, já que os vértices estão alinhados no eixo y), a equação padrão é:
Aqui, é o semi-eixo maior (a metade do comprimento do eixo maior) e é o semi-eixo menor.

Passo 3

Os vértices e estão em e , respectivamente. Isso significa que o comprimento total do eixo maior é 12 (de -6 a 6 no eixo y), então o semi-eixo maior é:

Passo 4

Com , já podemos atualizar a equação da elipse:
Agora, precisamos encontrar o valor de , o semi-eixo menor.

Passo 5

Sabemos que a elipse passa pelo ponto . Vamos substituir essas coordenadas na equação para encontrar :
Simplificando:

Passo 6

Vamos isolar :
Agora, invertendo os dois lados para resolver para :

Passo 7

Agora que temos , podemos escrever a equação completa da elipse:
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador:

Resposta

A equação da elipse é:
E o gráfico dela é uma elipse com eixo maior vertical, centrada na origem, com vértices em e , e passando pelo ponto .

Exercícios relacionados

Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:
Encontre diferenciando implicitamente
Determine a forma padrão da equação, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e esboce o gráfico das hipérboles dadas.
(b)
Seja , o espaço das matrizes quadradas de ordem 2 reais o produto interno dado pela expressão
Calcule o cosseno do ângulo entre em função de .