Determine uma equação e esboce o gráfico da elipse que satisfaz as condições dadas.
(e) vértices
, passa por
;
(e) vértices
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Precisamos encontrar a equação de uma elipse com vértices em
e
, que passa pelo ponto
. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre as equações de elipses, e seguir passo a passo para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral da equação de uma elipse. Se a elipse tem seu eixo maior na vertical (como é o caso aqui, já que os vértices estão alinhados no eixo y), a equação padrão é:
Aqui,
é o semi-eixo maior (a metade do comprimento do eixo maior) e
é o semi-eixo menor.
Passo 3
Os vértices
e
estão em
e
, respectivamente. Isso significa que o comprimento total do eixo maior é 12 (de -6 a 6 no eixo y), então o semi-eixo maior
é:
Passo 4
Com
, já podemos atualizar a equação da elipse:
Agora, precisamos encontrar o valor de
, o semi-eixo menor.
Passo 5
Sabemos que a elipse passa pelo ponto
. Vamos substituir essas coordenadas na equação para encontrar
:
Simplificando:
Passo 6
Vamos isolar
:
Agora, invertendo os dois lados para resolver para
:
Passo 7
Agora que temos
, podemos escrever a equação completa da elipse:
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador:
Resposta
A equação da elipse é:
E o gráfico dela é uma elipse com eixo maior vertical, centrada na origem, com vértices em
e
, e passando pelo ponto
.
Exercícios relacionados
Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:
Encontre
diferenciando implicitamente
Determine a forma padrão da equação, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e esboce o gráfico das hipérboles dadas.
(b)
(b)
Seja
, o espaço das matrizes quadradas de ordem 2 reais
o produto interno dado pela expressão
Calcule o cosseno do ângulo entre
em função de
.