Dentre todos os retângulos de perímetro 20 cm , determine aquele cujo produto é máximo.
Passo 1
Beleza, vamos ver qual é a missão aqui! A gente quer encontrar, entre todos os retângulos que têm perímetro de 20 cm, qual deles tem a maior área possível. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de matemática básica sobre perímetro e área de retângulos, e também entender como otimizar funções para encontrar valores máximos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis para facilitar. Vamos chamar o comprimento do retângulo de
e a largura de
.
Passo 3
Sabemos que o perímetro de um retângulo é calculado pela soma de todos os seus lados. A fórmula do perímetro (
) é:
Como o perímetro dado é 20 cm, temos:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação para relacionar
e
. Dividindo ambos os lados por 2:
Agora, vamos isolar uma das variáveis. Por exemplo, isolando
:
Passo 5
Agora, vamos expressar a área (
) do retângulo. A área é dada pela multiplicação do comprimento pela largura:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Passo 6
Queremos encontrar o valor de
que faz com que a área
seja máxima. Para isso, vamos tratar
como uma função e descobrir seu ponto máximo. A função que temos ��:
Essa é uma parábola que abre para baixo, o que significa que o vértice dela será o ponto de máximo.
Passo 7
Para encontrar o vértice da parábola, usamos a fórmula do vértice para uma função quadrática
, que é:
Aqui,
e
, então:
Passo 8
Agora que encontramos
cm, vamos encontrar
usando a equação que relaciona
e
:
Resposta
O retângulo que tem perímetro de 20 cm e a maior área possível é um quadrado com lados de 5 cm cada. A área máxima é de:
Exercícios relacionados
Determine o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou o ponto de mínimo das funções abaixo, definidas em
.
Para a equação
de raízes
e
usando apenas as fórmulas de soam e produto das raízes, calcule:
Determine a imagem das funções definidas em
.
Resolva as inequações em
: