Dentre todos os retângulos de perímetro 20 cm , determine aquele cujo produto é máximo.

Passo 1

Beleza, vamos ver qual é a missão aqui! A gente quer encontrar, entre todos os retângulos que têm perímetro de 20 cm, qual deles tem a maior área possível. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de matemática básica sobre perímetro e área de retângulos, e também entender como otimizar funções para encontrar valores máximos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis para facilitar. Vamos chamar o comprimento do retângulo de e a largura de .

Passo 3

Sabemos que o perímetro de um retângulo é calculado pela soma de todos os seus lados. A fórmula do perímetro ( ) é:
Como o perímetro dado é 20 cm, temos:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação para relacionar e . Dividindo ambos os lados por 2:
Agora, vamos isolar uma das variáveis. Por exemplo, isolando :

Passo 5

Agora, vamos expressar a área ( ) do retângulo. A área é dada pela multiplicação do comprimento pela largura:
Substituindo pela expressão que encontramos:

Passo 6

Queremos encontrar o valor de que faz com que a área seja máxima. Para isso, vamos tratar como uma função e descobrir seu ponto máximo. A função que temos ��:
Essa é uma parábola que abre para baixo, o que significa que o vértice dela será o ponto de máximo.

Passo 7

Para encontrar o vértice da parábola, usamos a fórmula do vértice para uma função quadrática , que é:
Aqui, e , então:

Passo 8

Agora que encontramos cm, vamos encontrar usando a equação que relaciona e :

Resposta

O retângulo que tem perímetro de 20 cm e a maior área possível é um quadrado com lados de 5 cm cada. A área máxima é de:
²

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Determine o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou o ponto de mínimo das funções abaixo, definidas em .
Para a equação de raízes e usando apenas as fórmulas de soam e produto das raízes, calcule:
Determine a imagem das funções definidas em .
Resolva as inequações em :