Determine a imagem das funções definidas em .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a imagem da função definida por para todos os números reais . Isso significa que queremos descobrir quais valores de são possíveis quando substituímos qualquer número real na função. A matéria envolvida aqui é o estudo de funções quadráticas e a determinação de sua imagem (ou intervalo de valores possíveis).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função quadrática . Sabemos que uma função quadrática tem a forma geral . No nosso caso, , e .
Como o coeficiente de ( ) é negativo (-4), a parábola representada por essa função abre para baixo. Isso significa que a função tem um ponto máximo, ou seja, um valor máximo de . Para encontrar esse ponto, precisamos determinar a coordenada do vértice da parábola.

Passo 3

A coordenada do vértice de uma parábola dada pela função quadrática pode ser encontrada usando a fórmula:
Substituindo os valores de e :
Agora que temos , vamos substituir esse valor na função original para encontrar o valor máximo de :
Portanto, o valor máximo de é 16.

Resposta

A imagem da função é .

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Determine o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou o ponto de mínimo das funções abaixo, definidas em .
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