Determine a imagem das funções definidas em
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a imagem da função definida por
para todos os números reais
. Isso significa que queremos descobrir quais valores de
são possíveis quando substituímos qualquer número real na função. A matéria envolvida aqui é o estudo de funções quadráticas e a determinação de sua imagem (ou intervalo de valores possíveis).
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função quadrática
. Sabemos que uma função quadrática tem a forma geral
. No nosso caso,
,
e
.
Como o coeficiente de
(
) é negativo (-4), a parábola representada por essa função abre para baixo. Isso significa que a função tem um ponto máximo, ou seja, um valor máximo de
. Para encontrar esse ponto, precisamos determinar a coordenada
do vértice da parábola.
Passo 3
A coordenada
do vértice de uma parábola dada pela função quadrática
pode ser encontrada usando a fórmula:
Substituindo os valores de
e
:
Agora que temos
, vamos substituir esse valor na função original para encontrar o valor máximo de
:
Portanto, o valor máximo de
é 16.
Resposta
A imagem da função é
.
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.
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:
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: