Determine o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou o ponto de mínimo das funções abaixo, definidas em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o valor máximo ou mínimo da função quadrática e o ponto onde isso acontece. Vamos usar um pouco de cálculo e teoria de funções quadráticas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, sabemos que funções quadráticas têm a forma geral . No nosso caso, , e . O coeficiente nos diz se a parábola abre para cima ou para baixo. Se , a parábola abre para cima e tem um ponto mínimo. Se , abre para baixo e tem um ponto máximo. Aqui, que é positivo, então nossa função tem um ponto mínimo.

Passo 3

Para encontrar o ponto mínimo, precisamos descobrir o valor de que minimiza a função. A fórmula para encontrar o vértice (ponto mínimo ou máximo) de uma parábola é . Vamos aplicar isso:
Então, o que nos dá o ponto mínimo é 1.

Passo 4

Agora que temos , vamos encontrar o valor de nesse ponto para saber o valor mínimo da função. Substituímos na equação original:
Então, o valor mínimo da função é 0.

Resposta

A função tem um valor mínimo de 0 no ponto .

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Resolva as inequações em :
Dentre todos os retângulos de perímetro 20 cm , determine aquele cujo produto é máximo.
Determine a imagem das funções definidas em .