Dentre as transformações definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares.
T: Re^4 Re ; T(x, y, z, w)=(0,2 x, 0,06 y, 0,13 z, 0,32 w);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar quais das transformações dadas são lineares. A transformação que temos aqui é:
T: R^4 R; T(x, y, z, w) = 0,2x + 0,06y + 0,13z + 0,32w
Então, vamos trabalhar com transformações lineares na matemática. Para isso, precisamos saber o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve cumprir. Vamos precisar revisar essas propriedades para verificar se a transformação T é realmente linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma transformação ser linear. Uma transformação T(u + v) = T(u) + T(v) é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Adição Vetorial: Para quaisquer vetores T(ku) = kT(u) e em ,
  2. Multiplicação por Escalar: Para qualquer vetor em e qualquer escalar em ,
Se ambas as propriedades forem verdadeiras, então a transformação é linear.

Passo 3

Vamos aplicar essas propriedades à transformação que temos:
T(x, y, z, w) = 0,2x + 0,06y + 0,13z + 0,32w
Primeiro, vamos verificar a aditividade. Seja T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, w1 + w2) = 0,2(x1 + x2) + 0,06(y1 + y2) + 0,13(z1 + z2) + 0,32(w1 + w2) e = 0,2x1 + 0,2x2 + 0,06y1 + 0,06y2 + 0,13z1 + 0,13z2 + 0,32w1 + 0,32w2 . Então:
T(u) + T(v) = (0,2x1 + 0,06y1 + 0,13z1 + 0,32w1) + (0,2x2 + 0,06y2 + 0,13z2 + 0,32w2)
Distribuindo os termos:
= 0,2x1 + 0,06y1 + 0,13z1 + 0,32w1 + 0,2x2 + 0,06y2 + 0,13z2 + 0,32w2
Agora, calculando :
Observamos que ambos os resultados são iguais, então a propriedade de aditividade é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja T(ku) = T(kx, ky, kz, kw) = 0,2(kx) + 0,06(ky) + 0,13(kz) + 0,32(kw) um escalar qualquer e = k(0,2x) + k(0,06y) + k(0,13z) + k(0,32w) = k(0,2x + 0,06y + 0,13z + 0,32w) . Então:
kT(u) = k(0,2x + 0,06y + 0,13z + 0,32w)
Por outro lado,
Vemos que , então a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Passo 5

Como a transformação satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que é uma transformação linear. Não há mais transformações no enunciado fornecido, então essa é a única a ser analisada.

Resposta

A transformação é linear.

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