Dentre as transformações definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar quais das transformações dadas são lineares. A transformação que temos aqui é:
Então, vamos trabalhar com transformações lineares na matemática. Para isso, precisamos saber o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve cumprir. Vamos precisar revisar essas propriedades para verificar se a transformação T é realmente linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma transformação ser linear. Uma transformação
é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
-
Adição Vetorial: Para quaisquer vetores
e em , -
Multiplicação por Escalar: Para qualquer vetor
em e qualquer escalar em ,
Se ambas as propriedades forem verdadeiras, então a transformação
é linear.
Passo 3
Vamos aplicar essas propriedades à transformação que temos:
Primeiro, vamos verificar a aditividade. Seja
e
. Então:
Distribuindo os termos:
Agora, calculando
:
Observamos que ambos os resultados são iguais, então a propriedade de aditividade é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja
um escalar qualquer e
. Então:
Por outro lado,
Vemos que
, então a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.
Passo 5
Como a transformação
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que
é uma transformação linear. Não há mais transformações no enunciado fornecido, então essa é a única a ser analisada.
Resposta
A transformação
é linear.