Sejam u, v e w vetores tais que u é unitário, |v|=raiz2, u cdot w=-2 e a medida angular ang (u, v)=pi4. Calcule (u+v-w) cdot 2 u.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos três vetores: u, v e w. As informações que temos são:
  • u é um vetor unitário (ou seja, seu comprimento é 1);
  • A norma de v é raiz2, ou seja, |v| = raiz2;
  • O produto escalar entre u e w é -2, então u cdot w = -2;
  • O ângulo entre u e v é pi4 radianos.
Queremos calcular o produto escalar de (u + v - w) com 2u, ou seja:
(u + v - w) cdot 2u
Para resolver isso, vamos usar propriedades do produto escalar e informações fornecidas sobre os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a propriedade distributiva do produto escalar, que nos permite distribuir o produto escalar sobre a soma dos vetores. Ou seja:
(a + b) cdot c = a cdot c + b cdot c
Aplicando isso ao nosso caso:
(u + v - w) cdot 2u = u cdot 2u + v cdot 2u - w cdot 2u

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada termo:
  1. u cdot 2u:
    Sabemos que o produto escalar de um vetor consigo mesmo é o quadrado da sua norma, ou seja:
    u cdot u = |u|^2
    Como u é unitário, |u| = 1, então:
    u cdot 2u = 2 (u cdot u) = 2 (1) = 2
  2. v cdot 2u:
    Podemos reescrever isso como 2 (v cdot u). O produto escalar entre dois vetores também pode ser expresso como:
    v cdot u = |v| |u| cos(theta)
    Onde theta é o ângulo entre v e u. Temos |v| = raiz2, |u| = 1, e theta = pi4:
    v cdot u = raiz2 times 1 times cos(pi4) = raiz2 times raiz22 = 1
    Portanto:
    v cdot 2u = 2 times 1 = 2
  3. -w cdot 2u:
    Similarmente, isso é igual a -2 (w cdot u). Já nos foi dado que u cdot w = -2, então:
    -w cdot 2u = -2 (w cdot u) = -2 (-2) = 4

Passo 4

Agora, juntando todos os termos que calculamos:
2 + 2 + 4 = 8

Resposta

O valor de (u + v - w) cdot 2u é boxed8.

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