Sejam
e
vetores tais que
é unitário,
e a medida angular ang
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos três vetores:
,
e
. As informações que temos são:
-
é um vetor unitário (ou seja, seu comprimento é 1); - A norma de
é , ou seja, ; - O produto escalar entre
e é , então ; - O ângulo entre
e é radianos.
Queremos calcular o produto escalar de
com
, ou seja:
Para resolver isso, vamos usar propriedades do produto escalar e informações fornecidas sobre os vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a propriedade distributiva do produto escalar, que nos permite distribuir o produto escalar sobre a soma dos vetores. Ou seja:
Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 3
Agora, vamos simplificar cada termo:
-
:
Sabemos que o produto escalar de um vetor consigo mesmo é o quadrado da sua norma, ou seja:
Comoé unitário, , então:
-
:
Podemos reescrever isso como. O produto escalar entre dois vetores também pode ser expresso como:
Ondeé o ângulo entre e . Temos , , e :
Portanto: -
:
Similarmente, isso é igual a. Já nos foi dado que , então:
Passo 4
Agora, juntando todos os termos que calculamos:
Resposta
O valor de
é
.