Sejam
e
duas matrizes semelhantes. Mostre que:
(b)
.
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas matrizes quadradas,
e
, de ordem
, que são semelhantes. O objetivo é mostrar que o determinante de
é igual ao determinante de
. Isso envolve conceitos de matrizes semelhantes e propriedades de determinantes.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que significa que duas matrizes são semelhantes. Duas matrizes
e
são chamadas de semelhantes se existe uma matriz invertível
tal que:
Isso significa que
e
representam a mesma transformação linear, apenas em bases diferentes.
Passo 3
Agora, queremos comparar
e
. Para isso, substituímos
pela expressão em termos de
e
:
Passo 4
Vamos manipular a expressão
. Podemos reescrever isso como:
Aqui, usamos a propriedade distributiva da multiplicação de matrizes.
Passo 5
Agora, aplicamos a propriedade do determinante que diz que para qualquer matriz invertível
e para qualquer matriz
:
Isso porque
.
Passo 6
Aplicando essa propriedade na nossa expressão:
Portanto, mostramos que
.
Resposta
Exercícios relacionados
Suponha que seja fixado um sistema de coordenadas cartesiano
para o espaço, onde o ponto O é a origem e
uma base ortonormal positiva.
(b) Considere e calcule o produto
.
(b) Considere
Dentre as transformações definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares.
;
Achar a matriz aumentada de cada um dos sistemas e resolvê-lo:
(b)
(b)
Use a Regra de Cramer para resolver os sistemas:
(a) Resp.:
e
(a)