Sejam An times n e Bn times n duas matrizes semelhantes. Mostre que:
(b) det(x I-A)=det(x I-B).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas matrizes quadradas, e , de ordem , que são semelhantes. O objetivo é mostrar que o determinante de é igual ao determinante de . Isso envolve conceitos de matrizes semelhantes e propriedades de determinantes.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que significa que duas matrizes são semelhantes. Duas matrizes B = P^-1 A P e são chamadas de semelhantes se existe uma matriz invertível tal que:
Isso significa que e representam a mesma transformação linear, apenas em bases diferentes.

Passo 3

Agora, queremos comparar xI - B = xI - P^-1 A P e . Para isso, substituímos pela expressão em termos de e :

Passo 4

Vamos manipular a expressão xI - P^-1 A P = P^-1(xP - A P) = P^-1(xI - A)P . Podemos reescrever isso como:
Aqui, usamos a propriedade distributiva da multiplicação de matrizes.

Passo 5

Agora, aplicamos a propriedade do determinante que diz que para qualquer matriz invertível det(P^-1 M P) = det(M) e para qualquer matriz :
Isso porque .

Passo 6

Aplicando essa propriedade na nossa expressão:
det(xI - B) = det(P^-1(xI - A)P) = det(xI - A)
Portanto, mostramos que .

Resposta

det(xI - A) = det(xI - B)

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