Suponha que seja fixado um sistema de coordenadas cartesiano para o espaço, onde o ponto O é a origem e uma base ortonormal positiva.
(b) Considere e calcule o produto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de coordenadas cartesianas onde é a origem e é uma base ortonormal positiva. A parte (b) da questão quer que, quando , a gente calcule o produto . Aqui, estamos lidando com vetores no espaço tridimensional e o produto representa o produto misto ou produto vetorial triplo, que envolve a multiplicação de três vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular esse produto e como a condição afeta nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto misto . Esse produto é igual ao determinante da matriz formada pelos componentes dos vetores , e . Matematicamente, isso fica assim:
Esse determinante nos dá o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores e também indica a orientação desse volume no espaço.
Passo 3
Agora, vamos considerar a condição dada na questão: x=0. Aqui, x provavelmente se refere a uma das coordenadas dos vetores ou a uma condição específica que os vetores devem satisfazer. Supondo que x=0 signifique que a componente x de um ou mais vetores é zero, isso simplifica nosso cálculo porque uma coluna da matriz (a coluna das componentes x) terá zeros, o que facilita a expansão do determinante.
Passo 4
Vamos supor que todos os vetores u, v e w têm sua componente x igual a zero. Então, a matriz do determinante fica assim:
[u, v, w] = 0 & uy & uz 0 & vy & vz 0 & wy & wz
Quando a primeira coluna é toda zero, sabemos que o determinante será zero, porque não há variação na direção x, o que significa que os três vetores estão no mesmo plano (no caso, no plano yz) e, portanto, o volume do paralelepípedo é zero.
Passo 5
Então, aplicando essa lógica ao nosso problema, quando x=0, temos que:
[u, v, w] = 0
Isso significa que o produto misto dos vetores u, v e w é igual a zero quando a componente x é zero.