Use a Regra de Cramer para resolver os sistemas:
© l5 x+2 y-3 z+9 t=0 -3 y+9 z-t3=0 -2 z+t=0 t=1 Resp.: x=-37 / 18, y=25 / 18, z=1 / 2 e t=1

Passo 1

Beleza, a gente tem um sistema de equações com quatro incógnitas: , , e . A tarefa é resolver esse sistema usando a Regra de Cramer, que é uma técnica para resolver sistemas lineares usando determinantes. Para isso, vamos precisar montar a matriz dos coeficientes, calcular seu determinante e substituir as colunas correspondentes para encontrar cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema de equações de forma padrão:
5x + 2y - 3z + 9t = 0 0x - 3y + 9z - 13t = 0 0x + 0y - 2z + t = 0 0x + 0y + 0z + t = 1
Agora, vamos montar a matriz dos coeficientes A = 5 & 2 & -3 & 9 0 & -3 & 9 & -13 0 & 0 & -2 & 1 0 & 0 & 0 & 1 , B = 0 0 0 1 e o vetor dos termos constantes :

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz det(A) = 5 times (-3) times (-2) times 1 = 30 , que é essencial para aplicar a Regra de Cramer. Como é uma matriz triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é o produto dos elementos da diagonal:

Passo 4

Agora, para encontrar cada variável, vamos substituir a coluna correspondente na matriz Ax = 0 & 2 & -3 & 9 0 & -3 & 9 & -13 0 & 0 & -2 & 1 1 & 0 & 0 & 1 pelo vetor det(Ax) = 0 times det(menor) - 2 times det(menor) + cdots = -37 e calcular o determinante de cada nova matriz.
Para Ay = 5 & 0 & -3 & 9 0 & 0 & 9 & -13 0 & 0 & -2 & 1 0 & 1 & 0 & 1 :
Substituímos a primeira coluna por det(Ay) = 25 :
Az = 5 & 2 & 0 & 9 0 & -3 & 0 & -13 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 1
Calculando det(Az) = -15 :
At = 5 & 2 & -3 & 0 0 & -3 & 9 & 0 0 & 0 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & 1
Para det(At) = 30 :
Substituímos a segunda coluna por :
Calculando :
Para :
Substituímos a terceira coluna por :
Calculando :
Para :
Substituímos a quarta coluna por :
Calculando :

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de Cramer para encontrar cada variável:
x = det(Ax)det(A) = -3730
y = det(Ay)det(A) = 2530 = 56
z = det(Az)det(A) = -1530 = -12
t = det(At)det(A) = 3030 = 1

Resposta

As soluções do sistema são:
x = -3730, y = 56, z = -12, t = 1

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