Dentre as transformações definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares.
T: Re^2 Re^2 ; T(x, y)=(3 x, 3 y);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se uma transformação , definida por , é linear. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares. Para resolver, vamos precisar entender as propriedades que uma transformação precisa ter para ser considerada linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores em e para qualquer escalar , as seguintes duas condições são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição, a adição. Seja T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (3(x1 + x2), 3(y1 + y2)) = (3x1 + 3x2, 3y1 + 3y2) e T(u) + T(v) = (3x1, 3y1) + (3x2, 3y2) = (3x1 + 3x2, 3y1 + 3y2) . Então:
Por outro lado:
Como os dois resultados são iguais, a primeira condição é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda condição, a multiplicação por escalar. Seja T(cu) = T(cx, cy) = (3(cx), 3(cy)) = (c cdot 3x, c cdot 3y) = c(3x, 3y) = cT(u) um escalar e . Então:
Como também aqui temos igualdade, a segunda condição é satisfeita.

Resposta

A transformação é linear.

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