Dentre as transformações definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares. ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se uma transformação , definida por , é linear. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares. Para resolver, vamos precisar entender as propriedades que uma transformação precisa ter para ser considerada linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores em e para qualquer escalar , as seguintes duas condições são verdadeiras:
Adição:
Multiplicação por escalar:
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição, a adição. Seja e . Então:
Por outro lado:
Como os dois resultados são iguais, a primeira condição é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda condição, a multiplicação por escalar. Seja um escalar e . Então:
Como também aqui temos igualdade, a segunda condição é satisfeita.