Dentre as transformações definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a transformação
definida por
é linear. Para isso, vamos lembrar do que é uma transformação linear e quais propriedades ela precisa ter.
Passo 2
Primeiro, uma transformação
é considerada linear se ela satisfaz duas condições principais:
- Adição:
para quaisquer vetores e . - Homogeneidade (ou Multiplicação por Escalar):
para qualquer vetor e escalar .
Essas propriedades garantem que a transformação “preserva” a estrutura vetorial.
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: Adição.
Sejam
e
.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Observamos que:
Então, a primeira condição é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda condição: Homogeneidade.
Sejam
e um escalar
.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Vemos que:
Portanto, a segunda condição também é atendida.
Passo 5
Como verificamos que a transformação
satisfaz tanto a adição quanto a homogeneidade, podemos concluir que
é realmente uma transformação linear.
Resposta
A transformação
é linear.