Dentre as transformações definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares. ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a transformação definida por é linear. Para isso, vamos lembrar do que é uma transformação linear e quais propriedades ela precisa ter.
Passo 2
Primeiro, uma transformação é considerada linear se ela satisfaz duas condições principais:
Adição: para quaisquer vetores e .
Homogeneidade (ou Multiplicação por Escalar): para qualquer vetor e escalar .
Essas propriedades garantem que a transformação “preserva” a estrutura vetorial.
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: Adição.
Sejam e .
Calculando :
Agora, calculando :
Observamos que:
Então, a primeira condição é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda condição: Homogeneidade.
Sejam e um escalar .
Calculando :
Agora, calculando :
Vemos que:
Portanto, a segunda condição também é atendida.
Passo 5
Como verificamos que a transformação satisfaz tanto a adição quanto a homogeneidade, podemos concluir que é realmente uma transformação linear.