Dentre as transformações definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares.
T: Re^2 Re^3 ; T(x, y)=(2 x, 0, x+y);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a transformação definida por é linear. Para isso, vamos lembrar do que é uma transformação linear e quais propriedades ela precisa ter.

Passo 2

Primeiro, uma transformação é considerada linear se ela satisfaz duas condições principais:
  1. Adição: para quaisquer vetores e .
  2. Homogeneidade (ou Multiplicação por Escalar): para qualquer vetor e escalar .
Essas propriedades garantem que a transformação “preserva” a estrutura vetorial.

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: Adição.
Sejam T(x1 + x2, y1 + y2) = (2(x1 + x2), 0, (x1 + x2) + (y1 + y2)) = (2x1 + 2x2, 0, x1 + x2 + y1 + y2) e T(x1, y1) + T(x2, y2) = (2x1, 0, x1 + y1) + (2x2, 0, x2 + y2) = (2x1 + 2x2, 0 + 0, x1 + y1 + x2 + y2) .
Calculando T(u + v) = T(u) + T(v) :
Agora, calculando :
Observamos que:
Então, a primeira condição é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda condição: Homogeneidade.
Sejam T(cx, cy) = (2(cx), 0, cx + cy) = (2c x, 0, c(x + y)) e um escalar c cdot T(x, y) = c(2x, 0, x + y) = (2c x, 0, c(x + y)) .
Calculando T(cu) = cT(u) :
Agora, calculando :
Vemos que:
Portanto, a segunda condição também é atendida.

Passo 5

Como verificamos que a transformação satisfaz tanto a adição quanto a homogeneidade, podemos concluir que é realmente uma transformação linear.

Resposta

A transformação é linear.

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