Determinar, se possível, a inversa de cada matriz a seguir:
© C=(ccc3 & 1 & 5 2 & 4 & 1 -4 & 2 & 9); Resp.: C^-1=(ccc17 / 90 & 1 / 180 & -19 / 180 -11 / 90 & 47 / 180 & 7 / 180 1 / 9 & -1 / 18 & 1 / 18)

Passo 1

Vamos resolver o exercício de determinar a inversa da matriz . Esse problema está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente ao cálculo de matrizes inversas. Para encontrar a inversa, vamos precisar calcular o determinante da matriz e a sua matriz adjunta. Se o determinante for diferente de zero, a inversa existe e podemos encontrá-la usando esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz C = 3 & 1 & 5 2 & 4 & 1 -4 & 2 & 9 . O determinante é um número que nos ajuda a saber se a matriz tem inversa. Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa. A matriz det(C) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) é:
C = a & b & c d & e & f g & h & i
O determinante de uma matriz det(C) = 3(4 cdot 9 - 1 cdot 2) - 1(2 cdot 9 - 1 cdot (-4)) + 5(2 cdot 2 - 4 cdot (-4)) é calculado da seguinte forma:
= 3(36 - 2) - 1(18 + 4) + 5(4 + 16)
Onde os elementos da matriz são:
= 3(34) - 1(22) + 5(20)
Substituindo os valores:
= 102 - 22 + 100
Calculando cada parte:
= 180
O determinante , que é diferente de zero. Portanto, a matriz tem uma inversa.

Passo 3

Agora que sabemos que a inversa existe, vamos calcular a matriz adjunta de Cofator11 = (-1)^1+1 cdot det4 & 1 2 & 9 = 1 cdot (4 cdot 9 - 1 cdot 2) = 1 cdot (36 - 2) = 34 . A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores. Primeiro, encontramos os cofatores de cada elemento da matriz Cofator12 = (-1)^1+2 cdot det2 & 1 -4 & 9 = -1 cdot (2 cdot 9 - 1 cdot (-4)) = -1 cdot (18 + 4) = -22 .
Os cofatores são calculados removendo a linha e a coluna de cada elemento e calculando o determinante da matriz resultante, multiplicado por Cofator13 = (-1)^1+3 cdot det2 & 4 -4 & 2 = 1 cdot (2 cdot 2 - 4 cdot (-4)) = 1 cdot (4 + 16) = 20 , onde Cofator21 &= (-1)^2+1 cdot det1 & 5 2 & 9 = -1 cdot (1 cdot 9 - 5 cdot 2) = -1 cdot (9 - 10) = 1 Cofator22 &= (-1)^2+2 cdot det3 & 5 -4 & 9 = 1 cdot (3 cdot 9 - 5 cdot (-4)) = 1 cdot (27 + 20) = 47 Cofator23 &= (-1)^2+3 cdot det3 & 1 -4 & 2 = -1 cdot (3 cdot 2 - 1 cdot (-4)) = -1 cdot (6 + 4) = -10 Cofator31 &= (-1)^3+1 cdot det1 & 5 4 & 1 = 1 cdot (1 cdot 1 - 5 cdot 4) = 1 cdot (1 - 20) = -19 Cofator32 &= (-1)^3+2 cdot det3 & 5 2 & 1 = -1 cdot (3 cdot 1 - 5 cdot 2) = -1 cdot (3 - 10) = 7 Cofator33 &= (-1)^3+3 cdot det3 & 1 2 & 4 = 1 cdot (3 cdot 4 - 1 cdot 2) = 1 cdot (12 - 2) = 10 e Cof(C) = 34 & -22 & 20 1 & 47 & -10 -19 & 7 & 10 são as posições do elemento.
Vamos calcular os cofatores:
Para o elemento :
Para o elemento :
Para o elemento :
Repetimos esse processo para todos os elementos da matriz :
Assim, a matriz dos cofatores é:

Passo 4

Agora, vamos obter a matriz adjunta, que é a transposta da matriz dos cofatores. Para transpor, trocamos as linhas pelas colunas:
Adj(C) = 34 & 1 & -19 -22 & 47 & 7 20 & -10 & 10

Passo 5

Finalmente, para encontrar a inversa da matriz C^-1 = 1det(C) cdot Adj(C) , usamos a fórmula:
C^-1 = 1180 cdot 34 & 1 & -19 -22 & 47 & 7 20 & -10 & 10
Sabemos que C^-1 = 34180 & 1180 & -19180 -22180 & 47180 & 7180 20180 & -10180 & 10180 e temos a matriz adjunta:
C^-1 = 1790 & 1180 & -19180 -1190 & 47180 & 7180 19 & -118 & 118
Dividindo cada elemento da matriz adjunta por 180:
Simplificando as frações:

Resposta

A inversa da matriz C^-1 = 1790 & 1180 & -19180 -1190 & 47180 & 7180 19 & -118 & 118 é:

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