Dentre as transformações definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares.
T: Re^2 Re^2 ; T(x, y)=(x+2 y, y);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação definida por . Nosso objetivo é descobrir se essa transformação é linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e e para qualquer escalar , as seguintes duas condições são verdadeiras:
  1. Adição de Vetores:
  2. Multiplicação por Escalar:
Essas propriedades garantem que a transformação preserve a estrutura vetorial.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essas propriedades à nossa transformação T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2) + 2(y1 + y2), y1 + y2) .
Primeira Propriedade: Preservação da Adição
Seja T(u) + T(v) = (x1 + 2y1, y1) + (x2 + 2y2, y2) = (x1 + 2y1 + x2 + 2y2, y1 + y2) e T(u + v) = T(u) + T(v) , então:
T(cu) = T(cx, cy) = (cx + 2cy, cy) = c(x + 2y, y) = cT(u)
Agora, vamos ver o que é T(cu) = cT(u) :
Comparando os dois resultados, vemos que:
Segunda Propriedade: Preservação da Multiplicação por Escalar
Seja um escalar e , então:
Aqui também vemos que:

Passo 4

Como verificamos que ambas as propriedades de linearidade são satisfeitas, podemos concluir que a transformação é, de fato, uma transformação linear.

Resposta

A transformação é linear.

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