Dentre as transformações definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares. ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação definida por . Nosso objetivo é descobrir se essa transformação é linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e e para qualquer escalar , as seguintes duas condições são verdadeiras:
Adição de Vetores:
Multiplicação por Escalar:
Essas propriedades garantem que a transformação preserve a estrutura vetorial.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essas propriedades à nossa transformação .
Primeira Propriedade: Preservação da Adição
Seja e , então:
Agora, vamos ver o que é :
Comparando os dois resultados, vemos que:
Segunda Propriedade: Preservação da Multiplicação por Escalar
Seja um escalar e , então:
Aqui também vemos que:
Passo 4
Como verificamos que ambas as propriedades de linearidade são satisfeitas, podemos concluir que a transformação é, de fato, uma transformação linear.