Dentre as transformações definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação
definida por
. Nosso objetivo é descobrir se essa transformação é linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e
e para qualquer escalar
, as seguintes duas condições são verdadeiras:
- Adição de Vetores:
- Multiplicação por Escalar:
Essas propriedades garantem que a transformação preserve a estrutura vetorial.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essas propriedades à nossa transformação
.
Primeira Propriedade: Preservação da Adição
Seja
e
, então:
Agora, vamos ver o que é
:
Comparando os dois resultados, vemos que:
Segunda Propriedade: Preservação da Multiplicação por Escalar
Seja
um escalar e
, então:
Aqui também vemos que:
Passo 4
Como verificamos que ambas as propriedades de linearidade são satisfeitas, podemos concluir que a transformação
é, de fato, uma transformação linear.
Resposta
A transformação
é linear.